ovta-posibnyk

ралельні. Таким чином, тензорний характер діелектричної проникності проявляється, якщо враховувати анізотропію середовища.

або у компонентах

Наступні зауваження сформулюємо для дійсних x і . У результаті операції t x вектор x можливо змінює довжину, але не змінює напрямок (із точністю до заміни на протилежний).

Зауваження 1. Оскільки x та x є векторами, то звідси ви-

значення якого не залежить від вибору системи координат. Отже, і власні значення i , і відповідні власні вектори xi є інварі-

антними характеристиками тензора другого рангу. Зауваження 2. Нехай власний вектор x1 відповідає власному

значенню 1 , тоді вектор Cx1 , де C – довільна стала, теж є власним вектором, що відповідає 1 . Тому домовимося, що різні

власні вектори – це лінійно незалежні власні вектори. Модуль і знак векторів xi не несе інформації про тензор t , їх можна виб-

рати довільно. Інформацію про тензор несуть напрямки векторів

61

тобто для компонент власного вектора отримали лінійну однорідну систему алгебраїчних рівнянь. Ця система має нетривіальний розв'язок тільки тоді, коли

Тут (4.3) – алгебраїчне рівняння третього порядку відносно – так зване характеристичне рівняння, яке після розкриття визначника набуває вигляду

де I1, I2 , I3 – певні функції компонент тензора (див. формули (4.6)–

(4.8)). Розв'язавши характеристичне рівняння, знайдемо власні значення i (i 1, 2, 3) . Для визначення власного вектора xi , що

відповідає певному власному значенню i , підставимо i в

рівняння (4.2) і розв'яжемо його відносно невідомих компонент (x1, x2 , x3) . Знормувавши знайдений вектор на одиницю, отрима-

ємо відповідний власному значенню i власний вектор xi . Якщо всі власні значення i (i 1,2,3) різні, то отримані оди-

ничнівласнівектори x1 , x2 , x3 будутьлінійнонезалежними.

Для несиметричних тензорів поряд із власними векторами

(4.1), які називаються правими власними векторами, можна роз-

і тому є власними векторами транспонованої матриці.

Оскільки det t det tT , то власні значення для лівих і правих векторів збігаються.

Якщо тензор t – симетричний, то y t t y , і як наслідок, лі-

ві та праві власні вектори збігаються. Для несиметричного тензора, коли два (або більше) власні значення однакові, кількість власних векторів може бути менше трьох.

Якщо всі власні значення тензора t відмінні від нуля, i 0 , то існує обернений тензор із власними значеннями 1 i , і власні

вектори тензорів t і t 1 збігаються.

63

§ 3. Інваріанти тензора другого рангу

Компоненти тензора залежать від вибору системи координат. Але із компонент тензора можна скласти такі комбінації, які від вибору системи координат не залежать. Часто вони мають самостійний важливий фізичний зміст. Так, деформацію пружного середо-

вищахарактеризуєтензордеформацій ukl . Йогопершийінваріант

I1 u11 u22 u33 V

V

і має смисл відносної зміни об'єму при деформації.

3.1.Способи побудови інваріантів

1.Через характеристичне рівняння. Інваріантами тензора є

власні значення 1, 2 , 3 , їх знаходимо із характеристичного рівняння

Якщо розкрити визначник і зібрати доданки з однаковими степенями , то одержимо скалярне кубічне рівняння

3 I1 2 I2 I3 0 ,

де

Тут і далі в цьому параграфі під t та T розуміємо матрицю компонент відповідного тензора (означення T див. § 1).

Зазначимо, що головні значення тензора будуть інваріантами лише за умови, що інваріантами будуть коефіцієнти алгебраїч-

ного рівняння третього степеня – I1, I2 , I3 . Кубічний многочлен, користуючись теоремою Вієта, можна розкласти на множники

64

3 I1 2 I2 I3 1 2 3 ,

де 1, 2 , 3 – корені характеристичного рівняння, тому коефіцієнти характеристичного рівняння I1, I2 , I3 виражаються також через його корені 1, 2 , 3 :

I1 1 2 3 ,

I2 2 3 1 3 2 3 ,

I3 1 2 3 .

Величини I1 , I2 , I3 (4.6)–(4.8) називають, відповідно, пер-

шим, другим та третім інваріантами тензора другого рангу. Але, насправді, інваріантів тензора можна побудувати дуже багато,

зважаючи на те, що власні значення 1, 2 , 3 є інваріантами

тензора, тому будь-яка їх комбінація є теж інваріантом. Очевидно, що інваріантом є також величина

2. Множенням тензора самого на себе і різними способами утворювати згортки. Наприклад, величини

Spt tii ,

Sp t2 tijt ji , Sp t3 tijt jk tki

– теж інваріанти і виражаються через I1 , I2 , I3 . Наступні інва-

ріанти такого типу, тобто слід ("шпур") від t4 та слід від довільного більш високого степеня t , не будуть незалежними від перших трьох інваріантів. Це випливає із так званої теореми Га- мільтона–Келлі: будь-яка квадратна матриця t задовольняє своє характеристичне рівняння:

t3 I1t2 I2t I3E 0 .

Звідси отримуємо

t4 I1t3 I2t2 I3t .

65

Замість інваріантів Sp t2 , Sp t3 можна будувати згортки типу

Sp(t tT ) , Sp(t2 tT ) і т. п.

Для тензорів вищих рангів інваріанти можна будувати таким самим шляхом.

§ 4. Головні значення та головна система координат дійсного симетричного тензора другого рангу

Для симетричного тензора справедлива рівність x t t x , тому ліві та праві власні вектори збігаються.

Покажемо, що всі власні значення дійсного симетричного тензора дійсні, * . Виходитимемо з рівняння, яке задоволь-

Напрямки, що задаються дійсними власними векторами, на-

зивають головними напрямками тензора t , осі цих напрямків – головними осями тензора, а відповідні числа – головними

значеннями тензора.

Покажемо, що власні вектори, які відповідають різним власним значенням, ортогональні.

Припустимо, що два незалежні власні вектори задовольняють

У цій власній площині завжди можна вибрати, причому неоднозначно, пару ортогональних векторів, тобто завжди існує

три ортогональні власні вектори x1 , x2 , x3 .

Якщо два неортогональні напрямки є головними, то відповідні головні значення збігаються.

Тензор, кратний одиничному, має діагональний вигляд у будьякій системі координат і називається кульовим. Для такого тензо-

ра 1 2 3 і довільний напрямок у просторі є головним.

Для матеріальних тензорів наявність власних значень, що збігаються, як правило, є наслідком симетрії фізичної системи.

Виберемо власні вектори x1 , x2 , x3 так, щоб вони були ор-

тогональними й одиничними. Пов'язана з ортонормованим базисом власних векторів система координат називається головною системою координат тензора, її осі паралельні головним осям тензора. Знайдемо компоненти тензора в такій системі

tij xit x j j xi x j j ij ,

де підсумовування за індексом j немає. Тобто в головній сис-

темі координат тензор має діагональний вигляд, а діагональними компонентами є власні значення тензора для відповідних го-

ловних осей. Таким чином, дійсний симетричний тензор зводиться до діагонального вигляду ортогональним перетворен-

ням, оскільки перехід від довільного ортонормованого базису до ортонормованого базису головної системи координат здійснюється за допомогою ортогонального перетворення.

У головній системі симетричний тензор можна представити у вигляді розкладу за трьома симетричними діадами

t 1x1 x1 2 x2 x2 3x3 x3

або лінійної комбінації трьох тензорів проектування на головні осі. Водночас x1 x1 x2 x2 x3 x3 E , де E – одиничний тензор, тому справедливе й інше представлення (за 1 можна

взяти будь-яке із власних значень):

t 1E 2 1 x2 x2 3 1 x3 x3 .

де x3 відповідає виділеній головній осі. У довільній системі координат компоненти одновісного тензора мають вигляд

визначимо тензор інерції для "гантельки"

Внесок дає лише одна частинка, оскільки координати частинки, розміщеної у початку відліку, дорівнюють нулю, і відповідно її внесок у тензор інерції є нульовим.

Можна знайти інваріанти побудованого тензора інерції: слід

док власних значень, що збігаються.

69

Напрямки головних осей дійсного симетричного тензора другого рангу можна знайти з міркувань симетрії. У системі є аксіальна

симетрія – вектор x1 = (cos ,sin ,0) , паралельний осі симетрії

(стрижню "гантельки"), є власним вектором (рис. 4.4), який відповідає власному значенню 1 = 0 . Вектори x2 , x3 , що відповідають

однаковим власним значенням 2,3 = ml2 , вибираються неодно-

значно: довільний вектор, що лежить у площині, перпендикулярній вектору x1 , буде власним вектором (це приклад одновісного тен-

зора, для якого вся площина, перпендикулярна вектору x1 , буде

власною). На цій площині завжди можна вибрати два вектори, ортогональні між собою, так, щоб вони разом із вектором x1 утворю-

Перехід до головної системи координат здійснюється пово-

льний кут не вплине на діагональний вигляд тензора інерції у головній системі координат.

70