Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1268 вузов, 4651 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

ovta-posibnyk

.pdf
Скачиваний:
46
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
1.67 Mб
Скачать
☆

координати). Тоді в довільній системі координат можна означи-

ти оператор набла

ei iq

так, що

ei qi .

Коваріантні компоненти вектора дорівнюють qi , конт-

раваріантні: gij

 

 

, "фізичні":

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A( )

 

у силу співвідношень

e

 

 

 

 

 

,

 

e H e( ) ,

A

 

 

,

 

H

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A H A( ) . Запишемо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

i

e(i)

 

 

 

i .

 

 

 

 

 

H

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

Наведемо вирази для градієнта скалярної функції у

фізичному ортонормованому базисі:

 

 

 

 

 

 

 

 

у циліндричній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

= r

 

er

r e

z

 

ez ,

 

 

у сферичній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

=

r er

r

e

 

e

,

 

r sin

 

у параболічній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

=

 

 

 

 

 

 

eu

 

 

ev

 

 

 

 

 

e .

u2 v2

u

v

 

uv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дивергенцію векторного поля

A (інваріантне

 

означення див.

розд. 7, п. 2.6) визначають як скаляр, який дорівнює згортці тен-

171

зора другого рангу – коваріантної похідної контраваріантного вектора (лінійний інваріант тензора другого рангу):

 

i

Ai

j

i

div A A,i

qi

A

ij .

Знайдемо вираз для суми (за індексами, що повторюються)iij через компоненти метричного тензора. Ураховуючи рівності

i, jk gil ljk , ijk gil l, jk

та симетрію gik , запишемо

iij gik k,ij gki i,kj 12 gik k,ij i,kj 12 gik gqikj .

Тут за наслідком із теореми Річчі k,ij i,kj gqikj ; gik – ком-

поненти матриці, оберненої до фундаментальної, причому gik gki . За загальним правилом знаходження компонент оберненої матриці

gki Gik ,

g

де Gik – алгебраїчні доповнення фундаментальної матриці, які, крім того, дорівнюють похідній від визначника матриці за її елементом gik :

G

ik

 

 

g

 

,

 

gik

тобто

 

 

 

 

 

 

 

1

 

g

 

gik

 

,

 

 

 

 

 

 

g gik

 

 

i

 

1

1

 

g

gik

 

1 1 g

 

1

g .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 g

 

 

 

ij

 

2 g g

ik

 

q

j

 

q

j

 

g

 

q

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

172

Тоді

i

Ai

j

i

Ai

i

1 g

 

A,i

qi

A

ij

qi

A

 

qi

 

g

 

 

1 g Ai

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

q

 

Hi

 

 

(i)

 

 

 

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1H2H3 A(i)

 

 

 

 

 

div A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1H2H3 i

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

Hi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

використовуючи формули

 

g I H1H2H3 та (8.9).

 

 

Наприклад, у циліндричній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

A

1 A

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

div A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

у сферичній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

r2

 

Ar

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

A

div A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin A

 

 

 

 

.

2

 

r

 

 

r sin

 

r sin

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оператор Лапласа

від

скалярної функції,

який

дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, обчислюється за формулою

( ) div(grad )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

H

 

 

H

 

 

 

 

div

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1H

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

2

 

q

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2H3 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hi

 

 

 

 

 

Наведемо вирази для лапласіана скалярної функції у фізичному ортонормованому базисі:

у циліндричній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1 2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у сферичній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

=

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

r2

 

 

r

r2 sin

 

 

 

r

2 sin2

2

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у параболічній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

u2

 

v2

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

v2

 

 

u u

 

 

v v

 

 

 

u2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

173

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ротор (вихор) векторного поля A (інваріантне означення

див. розд. 7, п. 2.6) визначають як векторний добуток операто-

ра набла на A :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e j

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

i

 

 

j Aj

i

 

 

A e

 

 

 

 

 

 

 

Aje

 

e

e

 

 

 

Aje

 

 

 

 

 

qi

 

 

qi

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

A

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eijk e

 

 

 

A

ei ( j e k ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

j

 

 

 

 

ik

 

 

 

Другий доданок обертається на нуль, оскільки

 

 

ei e k ikj

 

 

 

1

 

eiknen ikj

 

 

 

1

 

 

eiknen ikj

kij

 

 

 

 

g

2

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

eikn ekin en ikj

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут ми скористалися симетрією символів Крістоффеля відносно перестановки у парі нижніх індексів та рівністю

eikn kij ekin ikj , де пару німих індексів із i (за якими за домов-

леністю здійснюється підсумовування від 1 до 3) замінено на пару з індексів k , і навпаки, пару із k – замінено парою із i .

У результаті одержуємо

 

 

 

 

 

1

 

 

 

A

j

 

 

 

 

rot A

 

 

 

eijk e

 

 

 

 

 

 

 

g

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Aj

 

 

A

 

 

rot A

 

 

 

ek

 

 

 

 

 

i

 

,

g

q

i

 

 

j

 

 

 

k

 

 

 

 

q

 

 

де індекси i, j,k утворюють циклічну перестановку із чисел

1, 2, 3. З останньої формули знаходимо контраваріантні та "фізичні" компоненти вихору

 

k

 

1

Aj

 

A

 

 

rot A

 

 

 

 

 

 

 

i

 

,

 

 

q

i

j

 

 

 

g

 

 

q

 

 

 

 

 

 

H

k

 

H j A( j)

 

Hi A(i)

 

rot A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

i

 

j

 

(k )

 

H1H

2H3

 

q

 

q

 

 

де індекси i, j,k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

утворюютьциклічну перестановкуіз чисел1, 2, 3.

174

 

Ротор векторної функції має такий вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у циліндричній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

e

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot A =

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( A )

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у сферичній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A sin

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot A

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

er

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

Ar

 

 

(rA ) e

 

1

 

 

(rA

 

 

)

Ar

 

e .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

sin

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лапласіан

векторної

 

 

 

функції

 

 

обчислюється

 

 

за

 

формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 A ( A)

( A) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у циліндричній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

2

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

A =

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

Azez ,

 

2

 

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у сферичній системі координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = Ar

 

 

 

 

 

 

Ar

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

er

 

 

 

 

 

r

2

 

sin

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Ar

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

cos

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin2

 

 

sin2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Ar ctg

A

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2 sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольні запитання

1.Що таке криволінійні координати, координатні лінії, координатні поверхні?

2.Як вводяться локальні основний та взаємний базиси? Який геометричний зміст векторів основного базису?

3.Чому дорівнює векторний елемент довжини дуги координатної лінії, векторний елемент площі координатної поверхні, елемент об'єму у криволінійних координатах?

4.Якікриволінійнікоординатиназиваютьсяортогональними?

175

5.Як вводиться локальний "фізичний" базис, пов'язаний з ортогональними криволінійними координатами?

6.Що таке параметри Ламе? Який їхній геометричний зміст?

7.Наведіть приклади ортогональних криволінійних координат. Запишіть формули, що пов'язують декартові координати з: а) циліндричними, б) сферичними координатами.

8.Обчисліть параметри Ламе для циліндричних і сферичних

координат двома способами: а) за формулами для параметрів Ламе; б) використовуючи вигляд координатних ліній та геометричний зміст параметрів Ламе.

9.Запишіть закон перетворення векторів і тензорів у криволінійній системі координат.

10.Що таке символи Крістоффеля (коефіцієнти зв'язності)?

11.Коваріантнедиференціюваннявекторнихтатензорнихполів.

12.Коваріантна похідна.

13.Сформулюйте й доведіть теорему Річчі.

14.Запишіть основні диференціальні операції першого порядку через коваріантну похідну відповідних полів.

15.Знайдіть вирази для градієнта, дивергенції, ротора, оператора Лапласа в ортогональній криволінійній системі координат (через параметри Ламе).

Задачі

8.1. Знайти параметри Ламе Н , Н , Н у бісферичній (або бі-

полярній) системі координат ( , , ):

 

 

 

x =

asin cos

,

y =

asin sin

, z =

a sh

,

ch cos

ch cos

ch cos

 

 

 

 

 

де а – сталий параметр, , 0 та 0 2 .

8.2. Знайти параметри Ламе Н , Н , Н у тороїдальній системі координат ( , , ):

x =

ash cos

,

y =

a sh sin

, z =

a sin

,

ch cos

ch cos

ch cos

 

 

 

 

 

де а – сталий параметр, 0 , 0 2 та . 8.3. Записати кінетичну енергію точкової частинки масою m,

яку задано виразом T = mr 2 2 , де r = r (t), у циліндричній, сферичній і параболічній системах координат.

176

8.4. Записати кінетичну енергію точкової частинки масою m, яку задано виразом T = mr 2 2 , де r = r (t), у довільній ортогональній криволінійній системі координат.

8.5. Довести формулу

 

e j H j

 

 

e i

 

 

 

 

=

 

 

 

ij Hi

 

q j

Hi qi

і обчислити похідні від векторів фізичного базису для циліндричної та сферичної систем координат.

8.6. Симетричний тензор деформацій визначає зміну відстані між нескінченно близькими точками при деформації пружного се-

редовища, що задається полем зміщень u , а саме, якщо l – вектор, проведений з однієї точки в іншу, то в лінійному наближенні

 

l

 

3

s l / l. У декартовій

за полем зміщень

 

u(ij)s(i)s( j) , де

 

l

 

i, j 1

 

 

 

 

 

системікоординат компоненти тензора деформацій маютьвигляд

 

 

1

 

u

 

 

u j

 

u

=

 

 

i

 

 

 

.

2

x

ij

 

x

j

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

Записати компоненти тензора деформацій у циліндричній системі координат.

8.7. Записати компоненти тензора деформацій u(ij) у сферич-

ній системі координат (див. задачу 8.6).

8.8. Записати компоненти тензора деформацій u(ij) у довільній ортогональній криволінійній системікоординат (див. задачу 8.6).

8.9.Записати оператор Лапласа від скалярної функції у системі координат, яку задано рівняннями:

x= (a r cos )cos , y = (a r cos )sin , z = r sin , де a = const.

8.10.Записати диференціальні оператори:

ˆ

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

а) Lx = y

z

z

y

,

Ly = z

x

x

z

,

Lz = x

y

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у циліндричних координатах ( , , z);

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) L

[r ] у циліндричній системікоординатізнайтийогопро-

екціїнадекартовіорти. Порівнятивідповідьізрезультатамип. а).

177

8.11. Записати диференціальні оператори:

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) Lx = y

z

z

y

,

Ly

= z

 

x

x

 

z

,

 

Lz

 

= x

y

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у сферичних координатах (r, , ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

у сферичній системі координат і знайти його проек-

 

б) L

[r ]

ціїнадекартовіорти. Порівнятивідповідьізрезультатамип. а).

 

8.12. Записати вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у циліндричних координа-

 

( A

) A: а)

тах; б) у сферичних координатах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.13. Дивергенція симетричного тензора другого рангу t у

декартових координатах має компоненти

 

 

 

 

 

 

 

 

tki

. Знайти

 

( t)

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

компоненти

 

вектора

 

 

 

 

 

 

 

а) у

 

 

циліндричних

 

 

координатах;

 

t :

 

 

 

 

 

 

 

 

б) у сферичних координатах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.14. Величина

 

 

 

 

 

 

 

(де t –

 

симетричний тензор другого

 

(t )u

 

 

рангу,

u – вектор) у декартових координатах обчислюється як

 

ui

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

. Знайти

вираз

для

 

 

обчислення

 

величини

(t )u :

 

 

 

 

ij x j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) у циліндричних координатах; б) у сферичних координатах.

 

8.15. Записати рівняння Максвелла (у системі СІ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B(r ,t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(r ,t)

 

 

 

 

 

 

rot E(r ,t)

 

 

 

t

 

 

,

 

 

 

 

 

 

rot

H (r ,t)

 

t

 

 

 

j

(r ,t) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

div D(r ,t) (r ,t) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

div B(r ,t) 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у циліндричній і сферичній системах координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.16. Обчислити, використовуючи

циліндричні або сферичні

координати та локальний базис (тут a

const ):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) div r ;

б) rot r ;

 

 

 

r

a ;

г) (a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

)r ; д) div f (r) r ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

a

 

 

 

 

 

 

 

 

a r

 

 

 

 

 

 

a r

 

 

 

 

є) rot f (r) r

;

ж)

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

з)

div

 

 

 

 

 

;

і) rot

 

 

 

 

.

 

 

 

 

r

3

 

 

 

 

 

 

r

3

 

 

r

3

 

 

 

8.17. Обчислити

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(r ),

 

 

використовуючи циліндричні або

сферичні координати та локальний базис, якщо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) f

 

 

 

 

ik r

;

 

 

 

в) f

 

 

 

 

 

ikr

r ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

const .

а) f (r ) = 1 r ;

 

 

(r ) = e

 

 

 

 

 

 

(r ) = e

 

 

 

 

 

 

 

 

де k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

178

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 9 Тензорне числення

у псевдоевклідовому просторі

Відкриття М. Лобачевським геометрії, відмінної від евклідової, показало, що евклідова геометрія не може претендувати на роль єдиної геометрії. Постало питання: яка ж геометрія описує властивості навколишнього простору? Це питання виходить за межі математики. Розвиток фізики показав, що евклідова геометрія описує структуру навколишнього простору лише із певним ступенем точності, а також, що простір і час не є абсолютними, а певним чином пов'язані. Проявляється це в електромагнітних явищах та при русі тіл зі швидкостями, близькими до світлових. У релятивістській фізиці до трьох просторових координат додається координата часу – четвертий вимір. Перехід до рухомої системи координат поєднує простір і час точно визначеним у математичному відношенні чином так, що їх уже не можна відділяти. Теорія відносності виявляє, що простір та час нерозривно зв'язані і утворюють чотиривимірний континуум, який називається "простір – час". Уперше поняття "простір – час" застосував Г. Мінковський в 1908 р.

Поєднання простору та часу у спеціальній теорії відносності (СТВ) А. Ейнштейна показало існування зв'язку між іншими поняттями фізики. Певні фізичні величини, які в нерелятивістській фізиці розглядалися як незалежні, у релятивістській фізиці виявилися різними компонентами єдиного об'єкта. Дослідження в області теорії відносності дозволили сформулювати її математично, але наочно уявити собі чотиривимірний простір – час ми не можемо. Адже за допомогою наших органів відчуття ми спостерігаємо лише його тривимірні проекції. Тому висновки теорії відносності здаються нам парадоксальними. Крім того, звичний для нас тривимірний простір є евклідовим, а простір – час у СТВ є псевдоевклідовим і має інші геометричні властивості. Якби за

179

допомогою притаманних нам відчуттів ми могли побачити, почути, відчути чотиривимірний простір–час безпосередньо, парадокси, можливо, зникли б назавжди.

§ 1. Математична структура псевдоевклідового простору

Псевдоевклідів простір із погляду лінійних властивостей є лінійним і в цьому відношенні не відрізняється від евклідового. Існує множина R з елементами– векторами A, B, , і на цій множині R

задані операція додавання, що ставить у відповідність парі A та B однозначно визначений елемент A B , та операція множення на число із деякого поля. Уведені операції задовольняють 8 аксіом лінійного простору (див. Вступ). Псевдоевклідів простір відрізняється від евклідового метричними властивостями. В евклідовому просторі всі власні значення метричного тензора додатні, у псевдоевклідовому – деякі зних є від'ємними.

Вибравши відповідний базис, можна привести метричний тензор до діагонального вигляду, після чого, змінюючи довжини базисних векторів, зробити діагональні компоненти рівними 1 .

У такому базисі скалярний добуток матиме вигляд

 

 

 

 

i

j

1 1

2 x

2

y

2

n x

n

y

n

,

(9.1)

(x ei ) ( y

e j ) 1x y

 

 

 

 

де i ei2 можуть набувати лише двох значень: 1 та –1. Базиси із

такою властивістю називаються ортонормованими. Простір є псевдоевклідовим, якщо не всі i мають один знак, а квадрат вектора

не є знаковизначеним. Пара чисел m, n m , що задає кількість

базисних векторів дійсної та суто уявної довжини відповідно, не залежить від вибору ортонормованого базису та називається сигнатурою псевдоевклідового простору. Псевдоевклідів простір із сиг-

натурою m, n m можна перетворити у простір із сигнатуроюn m, m заміною знака скалярного добутку. Тому принципових

відмінностей між такими просторами немає: зокрема, простір Мінковського в різних джерелах визначається і як простір сигнатури (1, 3), і якпростір сигнатури (3, 1).

180

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности