ovta-posibnyk

§ 3. Застосування оператора

у векторному аналізі

Диференціальні операції над скалярними та векторними функціями визначаються без використання конкретної системи координат, вони мають інваріантний зміст і виражаються через символічний векторний диференціальний оператор набла, який у декартових координатах має вигляд

= ex x ey y ez z .

Наприклад, дивергенцію векторного поля A формально можна розглядати як скалярний добуток символічного вектора на вектор A , ротор векторного поля – як векторний добуток си-

мволічного вектора на вектор A . Застосування оператора є надзвичайно зручним у багатьох задачах векторного аналізу.

За домовленістю оператор діє на всі величини, що стоять праворуч від нього. У декартових координатах диференціальні операції першого порядку мають такий явний вигляд:

Для обчислення диференціальних операцій векторного аналізу довільного порядку над довільними функціями можна використовувати символічний метод, який зводиться до таких дій. Усі диференціальні операції виражають через символічний

оператор , який, з одного боку, – є диференціальним оператором, оскільки містить похідні за координатами, а з іншого – є вектором. Кожен доданок у виразі повторюють буквально таку кількість разів, скільки в ньому є множників праворуч

від і на які цей оператор діє. У кожному із таких розписаних доданків домовимося підкреслювати величини, на які діятиме

оператор , а всі інші множники відносно дії вважатимемо

сталими. Далі, оскільки оператор – вектор, то формально використовуючи правила векторної алгебри, але пам'ятаючи,

що діє лише на підкреслені величини, виконуємо відповідні перестановки співмножників так, щоб у кожному доданку пра-

воруч від оператора залишилися лише підкреслені величини, після чого підкреслення можна опустити та повернутися

від виразів через до стандартних позначень для отриманих диференціальних операцій.

Описаний символічний метод для диференціальних операцій над скалярними та векторними об'єктами є узагальненням відомого з математичного аналізу правила Лейбніца для диференціювання добутків функцій. У математичному аналізі у випадку функцій однієї змінної правило Лейбніца записують у вигляді

або, керуючись уведеною вище домовленістю,

dxd f (x)g(x) = dxd f ( x)g( x) f ( x)g( x)

(кількість доданків у правій частині збігається із кількістю множників у лівій). У такій формі запису непідкреслений множник вважається сталим і його можна винести за знак похідної.

Пошук градієнта, ротора, дивергенції та їх комбінацій від явно заданих функцій звичайно проводять, записуючи їх у декар-

122

тових координатах і здійснюючи диференціювання безпосередньо. Однак для об'єктів, які можна подати у вигляді добутків, доцільно спочатку скористатися символічним методом (або відповідними векторними тотожностями) і звести задачу пошуку диференціальних операцій до явного диференціювання невеликої кількості максимально простих функцій.

За такого підходу процедура пошуку градієнта, ротора та дивергенції аналогічна звичайному диференціюванню з використанням таблиці похідних елементарних функцій. Останні обчислюються попередньо, згідно із прямим означенням диференціальних операцій у декартових координатах. До "елементарних"

123

Використовуючи символічний метод, можна також довести векторні тотожності, які справедливі в довільній системі коор-

Від скалярних та векторних полів за допомогою градієнта, дивергенції, ротора можна утворити шість диференціальних

оператор Лапласа (лапласіан) від скалярної функції

( ) div(grad )

та оператор Лапласа від векторної функції, який можна обчис-

§ 4. Основна теорема векторного аналізу

Формулювання Максвеллом чотирьох рівнянь електромагнетизму підняло важливе математичне питання: якою мірою векторна функція визначається своїми дивергенцією та ротором?

Є багато векторних функцій, для яких і дивергенція, і ротор дорівнюють нулю одночасно всюди в заданій області. Це функ-

ції вигляду F (r ) , якщо відповідний скалярний потенціал

є розв'язком рівняння Лапласа, а таких розв'язків існує безліч. Але для знаходження функції самого диференціального рівняння недостатньо, його треба доповнити відповідними крайовими умовами. В електродинаміці, наприклад, зазвичай вимагається, щоб поля прямували до нуля на нескінченності (далеко від усіх

125

інших зарядів). Із такою додатковою умовою теорема Гельмгольца, яку ми сформулюємо далі, гарантує, що поле однозначно

що також є правильним, якщо переконаємося, що другий доданок праворуч у (6.10) дорівнює нулю. Використовуючи інтегру-

вання частинами і враховуючи, що похідні від r r відносно

штрихованих координат відрізняються знаком від похідних за нештрихованими координатами, маємо

нях, але цього не достатньо. Якщо X 1r , підінтегральна функція дорівнює константі й інтеграл – розбіжний. І навіть, якщо X 1r 2 , інтеграл дорівнює логарифму, який все ще розбіж-

ний, якщо верхня межа інтеграла прямує до нескінченності. Таким чином, для доведення необхідно вимагати, щоб дивергенція

та ротор поля прямували до нуля швидше, ніж 1r 2 . Крім того,

цього більш, ніж достатньо, щоб гарантувати прямування до нуля поверхневого інтеграла в (6.11).

127

Визначимо, чи є за таких умов для D і C вираз (6.7) одно-

значним? До F ми можемо додати довільну векторну функцію, для якої дивергенція та ротор одночасно дорівнюють нулю, і умови (6.5) та (6.6) виконуватимуться, як і раніше. Однак, не рівної нулю функції, яка одночасно має нульові дивергенцію та ротор усюди і прямує до нуля на нескінченності, не існує. Таким

чином, за умови прямування F до нуля на нескінченності роз- в'язок (6.7) буде єдиним.

Тепер сформулюємо теорему Гельмгольца більш строго.

Основна теорема векторного аналізу (теорема розкладання

Гельмгольца). Якщо дивергенція D(r ) та ротор C(r ) векторної функції F(r ) точно визначені і прямують до нуля на нескінченності швидше, ніж 1r2 , то неперервно диференційовне вектор-

не поле F(r ) , яке зникає на нескінченності, однозначно визначається співвідношенням

F rot A .

Теорема має цікавий наслідок. Якщо неперервно диференційовна векторна функція F(r ) прямує до нуля на нескінченності швидше, ніж 1r , то її можна представити як суму градієнта

Це теореми математичного аналізу, тут f – довільна функ-

ція, що може мати будь-яку кількість індексів і, крім того, може бути представлена як результат інваріантних тензорних опера-

цій. Тому справедливим є такий загальний символічний запис:

dSn dV ,

S V

dl dS(n ) ,

C S

тут – символічне позначення послідовності операцій над полем одного або декількох геометричних об'єктів.

Зазначимо, що в останній формулі компоненти векторів і тензора задаються в декартовій системі координат.

Приклади перетворень інтегралів по замкненому контуру у