Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ovta-posibnyk

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

1.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

операція над одним із просторових індексів 1, 2, 3 змінює знак компоненти на протилежний.

Алгебраїчні тензорні операції для 4-тензорів псевдоевклідового простору аналогічні введеним у розд. 3 тензорним операціям над ортогональними тензорами та аналогічним операціям над афінними тензорами (див. розд. 7, § 3). Природно, що лінійні операції можна здійснювати лише над тензорами однакової структури, згортати – за парою індексів, один із яких нижній, інший – верхній. Згортка за двома нижніми або двома верхніми індексами не приводить до утворення нового тензора, тобто не є тензорною операцією.

Одиничний тензор має однаковий вигляд в усіх чотиривимірних системах координат (має структуру одиничної матриці розмірності 4 4). Компоненти одиничного тензора виражаються

через символи Кронекера, які позначаються ij або ij , причому кожен з індексів може пробігати чотири значення: 0, 1, 2, 3. Величини ij утворюють одиничний тензор відповідної будови (один раз коваріантний, один раз контраваріантний), аналогічно для ij . Опускання верхнього індексу одиничного тензора перетворює його на двічі коваріантний метричний тензор gij , а під-

німання нижнього – на двічі контраваріантний gij .

Уводиться повністю антисиметричний 4-тензор (правильніше 4-псевдотензор) четвертого рангу, складений із 4-символів Леві-

Чівіта eijkl або eijkl , який теж не змінюється при переході в іншу

чотиривимірну систему координат. Компоненти 4-тензора ЛевіЧівіта змінюють знак після перестановки довільних двох індексів, тому відмінні від нуля лише ті компоненти, у яких індекси

i, j,k,l різні. При цьому e0123 1, e0123 1 , інші відмінні від нуля компоненти – це компоненти з індексами, які утворюються внаслідок циклічної або антициклічної перестановки індексів у послідовності чисел 0, 1, 2, 3.

Компоненти справжнього 4-тензора четвертого рангу, у яких один індекс часовий, а всі інші – просторові (або навпаки), змі-

191

нюють знак при інверсії. Але компоненти eijkl не змінюються при інверсії, оскільки за означенням мають один і той самий ви-

гляд в усіх чотиривимірних системах координат. Тому eijkl є не справжнім 4-тензором, а 4-псевдотензором.

Узагальнення теореми Остроградського–Гаусса на чотиривимірний псевдоевклідів простір запишеться таким чином:

AidSi		Ai	d ,	(9.34)
	xi

де Ai – деякий 4-вектор; d dx0dx1dx2dx3 – елемент об'єму в чотиривимірному просторі; dSi – 4-вектор елемента гіперпове-

рхні, контраваріантні компоненти якого

dS0 dx1dx2dx3 , dS1 dx0dx2dx3 , dS2 dx0dx1dx3 , dS3 dx0dx1dx2 .

Ліворуч у (9.34) інтегрування здійснюється по замкненій гіперповерхні, праворуч – по 4-об'єму, який знаходиться всередині гіперповерхні.

Контрольні запитання

1.Як означено скалярний добуток векторів у псевдоевклідовому просторі?

2.Чи є метрика псевдоевклідового простору знаковизначеною квадратичною формою?

3.Що називається сигнатурою псевдоевклідового простору?

4.Який простір називається простором Мінковського?

5.Як називається лінійне відображення простору Мінковського в себе, що зберігає квадрати векторів?

6.Дайте фізичну інтерпретацію двовимірного простору Мінковського.

7.Які вектори називаються просторово-подібними і часоподібними?

8.Якому перетворенню еквівалентна послідовність із двох

гіперболічних поворотів із параметрами 1, 2 ?

192

9.Яка величина має однакові числові значення в усіх інерціальних системах відліку?

10.Який вигляд має метричний тензор у чотиривимірному просторі спеціальної теорії відносності?

11.Запишіть закон перетворення компонент 4-вектора при переході до іншої чотиривимірної системи координат та формули оберненого перетворення.

12.Якими компонентами задають 4-вектор у псевдоевклідовому просторі?

13.Як зв'язані між собою кота контраваріантні компоненти 4-вектора?

14.Як обчислюється скалярний добуток 4-векторів?

15.Якими компонентами представлено чотиривимірний градієнт скалярної функції?

193

Відповіді, вказівки та розв'язання

1.1. azbx axbz ;

dx f y d y fx .

1.2. a)

ey ;

б) 0.

1.10. cos = cos cos cos .

sin sin

1.11. cos = sin sin cos( ) cos cos .

1.12. Указівка. Розглянути тотожність:

c)= a

c )

b )(a

c ) .

1.13. Указівка. Розглянути тотожність

b ) a c = a (a,b,c )

та її аналоги.

1.14. sin2

cos

sin2

cos

1.15. 2V .

1.16.

2a3 ;

2V .

1.17. 6V ( 6V ),

якщо вектори DA, DB, DC утворюють праву

(ліву) трійку векторів.

1.19. a = n

n) n a n .

(n r )

1.20. r n

де n

n r

3(n

r )

1.21.

, де

n =

2r3

1.22. (r

r1) n = 0.

1.23.

(r r1,r2

r1,a) = 0.

r ) = (r , r

, r ).

1.24. (r

r ,a,b) = 0.

1.25.

r r

1 2 3

1.26. r

n = d.

1.27. (r r1)

n = 0.

1.28. r r

= 0 . 1.29. d

r1 a

194

| A b B a |

| r N |

1.30. d

| a b |

;

A b B a =

0 . 1.31. d

1.32. а)

a(a

b ) a

; б)

a b(a b )

( 2 2a2 )

1 b2

,d )

1.34. а) x =

y =

(c,a,d )

1.33.

(a,b

a b

,c )

z =

,d )

; б)

x =

, y =

, z

(a,b

,c )

(a,b

,c )

(a,b,c )

(a,b

,c )

1.35. Указівка. Якщо (a

,b,c) 0,

то розв'язок системи рівнянь

визначає радіус-вектор точки перетину трьох площин із нормалями a, b і c, відповідно. Тому радіус-вектор x має бути пер-

пендикулярним одночасно до векторів a, b і c; шукати його треба у вигляді розкладу x = p (b c ) q(c a) r(a b ) , де p,

q, r – скалярні (правильніше – псевдоскалярні, див. розд. 5) величини, які легко знайти, підставивши такий розклад послідовно у

три вихідні рівняння системи.

Відповідь: x = (b c ) (c a) (a b ) .

(a,b,c )

		1 0			0							0					0			0
2.1. а)			0	0		;		б)		0		1	0		;	в)		0	0		,
2.1. а)			0	0	1	;		б)		0		1	0		;	в)		0	0		,
			0 1									0						1 0
			0 1		0							0						1 0		0
причому = 1 .
	0		1/	2	1/	2
	0	1/		2	1/	2
2.2.	0	1/		2	1/	2	.
	1		0		0
	1		0		0

	1 0				0			1 0			0		1 0				0
		0	1			б)			0	1	0			0		1
2.4. a)		0	1		0 ;	б)			0	1	0	;	в)	0		1	0 .
		0 0							0 0					0 0
		0 0			1				0 0		1			0 0			1
									195

	1		0		0			cos			0 sin
		0	cos						0		1	0
2.5. а)					sin ,			б)					,
		0	sin								0
					cos			sin				cos
	cos			sin		0				cos			sin
				cos		0			2.6.		sin		cos
	в) sin						.
			0		0	1						0	0

	cos cos				sin		cos sin
2.7.					cos
	sin cos						sin sin .
		sin			0			cos

0 .

1 0			0	0		1	0	1/ 3		2 / 3	2 / 3
	0	1	0		1	0			2 / 3	1 / 3	2 / 3	,
2.8. а)				, б)			0	, в)
	0	0			0	0			2 / 3	2 / 3	1/ 3
			1				1
г) A = E 2n n.

2.9. Указівка. Розглянути закон перетворення довільного век-
тора a		= n		(a		n) n			a				n	= a		a		при повороті на кут від-
носно n.
носно n.
Відповіді:
				1 2cos									4	sin									4	sin
						3							3	sin	2	sin	2				3		3	sin		2	sin	2	3
						3							3		2		2				3		3			2		2	3
а)		4	sin											1 2cos									4	sin						,
			sin				sin																	sin			sin			,
		3			2			2			3					3							3			2		2	3
		4	sin										4	sin											1 2cos
		3	sin		2		sin	2					3	sin	2	sin	2				3						3
		3			2			2			3		3		2		2				3						3
б)	ij		= cos ij (1 cos )nin j sin eijk nk .
2.10. а)					a		= 1, б)				a	= 1,		в)	a	=	3,			= 1/2.
2.10. а)					a		= 1, б)				a	= 1,		в)	a	=	3,			= 1/2.
		I								0												0
			1		I2 cos2 I3 sin2											(I3 I2 )sin cos
3.1.			0		I2 cos2 I3 sin2											(I3 I2 )sin cos											.
			0			(I3 I2 )sin cos										I2 sin			2	I3 cos					2
			0			(I3 I2 )sin cos										I2 sin				I3 cos
															196

3.2. Указівка. Порівняти закони перетворення вказаних об'єктів при ортогональних перетвореннях системи координат.

3.3.t11 = t22 , t12 = t21 .

3.4.Скористаємось результатом задачі 3.2: компоненти тензо-

ра перетворюються за таким самим законом, що й добутки відповідних координат вектора (тут порядок множників принциповий). Наприклад, компонента t11 перетворюється за таким са-

мим законом,	як			( x1)( x1) x1x1,												компо-
мим законом,	як	x1x1		( x1)( x1) x1x1,					тобто t11 = t11 ,							компо-
											= t12 , тощо.
нента t12 – як	x1x2 ( x1)( x2 ) x1x2 , тобто t12										= t12 , тощо.
	t	t		t
	11		12	13
Відповідь:	t21	t22		t23 .
t		t		t
	31		32	33
3.5. (t22 t11)sin cos t12 cos2 .										1			2t12
3.6. Поворот навколо осі Oz на кут =										1			2t12			.
										2 arctg
										2 arctg		t		t	22
												11			22
t11		t12	0		t11		t12	0				t11		0		0
3.7. а), д) t		t	0	; б), г)		t	t	0		; в),	є)		0	t		0	.
	21	22				12	11						0	22
	0	0 t				0 0		t					0	0 t
			33					33								33

3.8.( 123 132 133 122 )/2 .

3.9.Рівними нулю будуть усі компоненти, у яких індекс 3 зу-

стрічається непарну кількість разів. Відмінні від нуля: 1111,

2222, 1122, 1133, 1222, 1112, 2233, 1233, 3333 та їх симетричні пе-

рестановки.

3.10.21.

3.11.Три лінійно незалежні компоненти: 1111 = 2222 = 3333,1212 = 1313 = 2323, 1122 = 2233 = 1133 та їх симетричні перестановки.

3.12.а) три компоненти, 1111 = 2222 = 3333 = ,

1122 = 1133 = 2233 = , 1212 = 1313 = 2323 = ; б) п'ять компонент, 1111 = 2222, 3333, 1122, 1133 = 2233,

1313 = 2323, 1212 = ( 1111 – 1122)/2.

3.13.Дві лінійно незалежні компоненти. Відповідь до задачі

3.12доповнюється додатковою умовою 1111 – 1122 = 2 1212.

3.14.а) a(b c ), б) (a b )c, в) b2 a, г) 0.

197

				11 13 31/ 33																	12 13 32 / 33										0
3.15. 0,					21				23 31/ 33												22		23 32 / 33								0 .
													0													0
						2							0													0					0
						2
3.16. t = En										n				n .
3.17. Відповідь: а)																ij			A ij Bsi s j , тензор є одновісним як лі-
нійна		комбінація															ізотропного										та		одновісного			тензорів;
б)		B(s s							1					) .
	ij		i		j				3			ij
4.1. а)			L = (0, I sin , I3 cos ) ,
											0,				(I			I )sin 2						, I sin								,
			L =								0,						3	2						, I sin				2 I3 cos2				,
							1											2
б)		T = T =					1	2 (I sin2 I3 cos2																	),
б)		T = T =					2	2 (I sin2 I3 cos2																	),
в)		N = (I I3 ) 2 sin cos e1 ,																						N	= (I I3 ) 2 sin cos e1 .
						t				t			22						t		t	22		2		t				2
4.2.				=		11							22							11		22									.
4.2.				=																											.
		1,2								2											2							12
										2											2
4.3. Для всіх матриць 1 = –1, 2																										= 1. Власні вектори
		для 1 : x1 =													1			(1, 1) ,				x2 =					1		(1,1) ;
		для 1 : x1 =													2			(1, 1) ,				x2 =				2			(1,1) ;
															2											2
		для 2 : x1 =													1				(i,1) , x2 = ( i,1) ;
		для 2 : x1 =															2		(i,1) , x2 = ( i,1) ;
		для 3 :															2				= (1,0) .
		для 3 :							x1		= (0,1) ,									x2	= (1,0) .

4.4. Указівка. Діагоналізувати тензор поворотом навколо осі

Oz на кут =

1 arctg

2t12

. Власні значення

t11 t22

= t .

1,2

a ,

4.5.

= a2 ,

2,3

= 0;

a .

Можна вибрати

c )

2,3

a c

a (a

, де c

– довільний вектор, неколіне-

c )

вектору a.

= a2 ,

арний

= I

= 0.

198

4.6. 1

= a b,

2,3 = 0;

x1 = a

a ,

x2,3 b.

Можна вибрати

x2 =

x3 =

b )

, де

– довільний вектор, неколі-

b (c

b )

, І2 = І3 = 0.

неарний векторам

та

2b.

I1 = a

Можна

вибрати

4.7. 1 = 0,

2,3 = ma

;

x1 = a/a ,

x2,3

a .

a (a

c )

x3 =

c )

де c

– довільний вектор, неколі-

вектору a

;

неарний

І1 = 2ma2, І2 = m2a4, І3 = 0.

4.8.

= a2/2,

2,3 = – a2/2;

= a/a , x2,3

a . Вибір векторів

вказано

попередній

задачі;

І1 = – a2/2, І2 = – a4/4,

І3 = a6/8.

4.9. 1

= 0,

2 = 1 + cos ,

= 1 – cos ;

a b

cos( /2)

sin( /2)

І1 = 2,

І2 = sin2 ,

І3 = 0.

a b

4.10. 1

= 0,

= a

b ab; x

, x

2,3

a b

2cos( /2) a

, де – кут між векторами a

та b .

2sin( /2)

4.11. 1

= 0, 2,3 = і ;

x1 =

x2,3 =

де e

– одиничний вектор, ортогональний до вектора ;

I = 0 ,

= 2 , I

= 0 .

4.12. Див.

відповідь до попередньої задачі, де слід покласти

= b a .

4.13.

= ,

2,3

;

= (0,0,1),

(1, i, 0).

2,3

199

5.1. S 12 a b b a , A 12 a b b a E ,

(b a)/2 .

=0,

= /3,

nn n

=0,

n n

= (

)/15.

5.3.

i j

k l

; б)

;

5.4. а) 3 a

b) ; в)

3 a ; г)

3 a

д) 3

b ) ;

є)

(a b )(c d ) (a

c)(b d ) (a d )(b c) .

5.5.

(a b ) .

5.6.

(a b )(c d ) (a c)(b d ) (a d )(b c ) .

5.7. Ii (k )

утворюють вектор I (k ) k

1 I0 / k.

Jij (k ) утво-

рюють одновісний тензор другого рангу

Jij

C ij Dkik j , де

C I0k2 I0 1

2k2 , D 3I0 3 I0k2

2k4 , I0

1 k

6.1.

а) Перший спосіб:

yey

zez ) 2r .

r2 = (x2 y2

z2 ) = 2(xex

З іншого боку, r

2 = 2r r, звідки r = r/r.

Другий спосіб:

x2 y2 z2

xex yey zez

;

r =

x2 y2 z2

б) (a r ) = ex

(xax yay zaz ) =

= axex ay ey az ez a;

n 2

r )r

в) nr

;

г)

;

д)

; є)

;

ж) (a

= ax

(xex

yey zez )

axex ay ey az ez a .

Зауважимо, що у цьому випадку вектор a

може бути змінним.

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.09.20198.33 Mб21otvety_dek_vsr.doc
#
07.09.2019276.26 Кб3otvety_na_ekzamen_s_adminki (1).docx
#
17.12.20182.31 Mб5Otvety_na_voprosy_k_ekzamenu_po_teoreticheskim.doc
#
09.11.2019744.96 Кб5overview_american.doc
#
09.11.20191.26 Mб14overview_British.doc
#
19.03.20151.67 Mб46ovta-posibnyk.pdf
#
07.03.20161.46 Mб29ovta-zbirnyk-zadach.pdf
#
19.03.20152.57 Mб1626O_M_Pazyak_O_A_Serbenska_M_I_Furduy_L_Yu.doc
#
15.11.2019261.12 Кб2Palestina-95 Later edited.doc
#
11.09.2019112.64 Кб6paronimi.doc
#
28.07.201926.2 Кб2Part 1.docx