ovta-posibnyk

тобто у компонентах закон (2.15) набуває вигляду

yi Lij x j ,

ij – набір компонент, що задають оператор ˆ у цій системі де L L

координат. У довільному базисі вони визначаютьсяза формулою

ˆ

Lij ei Le j .

Lij ei Le j ik ek L jl el ik jl ek Lel ik jl Lkl ,

що збігається із (2.13). Таким чином, інваріантний лінійний оператор у лінійному просторі векторів E3 як геометричний об'єкт

є тензором другого рангу. І навпаки, кожний тензор другого рангу t tij можна розглядати як лінійний оператор, що здійс-

нює операцію:

y tˆx

за правилом

yi tij x j .

Це окремий випадок операцій із тензорами, що називається згорткою (у цьому випадку тензора t і вектора x ).

Уведеному у п. 2.2 тензору проектування із компонентами

тобто у довільній системі координат одиничному тензору відповідає одинична матриця, а сам одиничний оператор можна пред-

Останнє співвідношення виражає факт так званої повноти ортогонального базису: у цьому просторі не існує відмінного від нуля вектора, який був би ортогональним до всіх векторів бази-

су e1,e2 ,e3 . Поняття повноти базису набуває особливої ваги у

просторах нескінченної розмірності, зокрема, у функціональних просторах при побудові розвинень за системами ортогональних функцій, так званих узагальнених рядів Фур'є.

2.6. Оператор повороту

Побудуємо матрицю переходу для повороту системи координат на кут навколо осі, паралельної вектору n , де | n | = 1 . Для

цього розглянемо закон перетворення довільного вектора a (рис. 2.6), який представимо у вигляді суми поздовжньої та поперечної складових (див. п. 1.3) відносно n :

2.7. Означення тензора рангу n

Тензор рангу n – це величина, що в розглядуваній декартовій системі координат задається впорядкованим набо-

ром 3n чисел – компонент – ti1i2 in , i 1,2,3, 1,n , які

при переході до іншої декартової системи координат перетворюються за законом

Ранг (валентність) тензора визначає:

1) структуру зображення об'єкта (n-вимірна матриця);

44

2) кількість множників ij у (2.17), тобто компоненти тензора

в іншій системі координат є лінійними однорідними функціями компонент матриці переходу степеня n.

Як і для векторів (див. п. 2.1), для тензора t символічну рів-

ti1i2 in ". Вислів "тензор ti1i2 in " означає те саме.

Один із шляхів побудови тензорів вищих рангів – операції із тензорами менших рангів, зокрема першого і другого рангів. Далі перейдемо до операцій із тензорами, зміст яких не залежить від координатної системи, у котрій вони виконуються.

Контрольні запитання

1.Матриця переходу та її властивості.

2.Ортогональне перетворення.

3.Властивості ортогональної матриці.

4.У якому співвідношенні знаходяться обернена та транспонована до ортогональної матриці переходу матриці?

5.Чому дорівнює визначникортогональної матриці переходу?

6.Які перетворення називають перетвореннями руху (неперервними перетвореннями)?

7.Чи можна звести перетворення відображень до послідовності перетворень руху?

8.Як змінюються координати вектора внаслідок інверсії?

9.Закон перетворення компонент вектора при заміні ортонормованого базису.

10.Означення вектора у координатному підході.

11.Означення тензора другого рангу.

12.Закон перетворення компонент тензора другого рангу.

13.Чи змінюються компоненти одиничного тензора при поворотах системи координат?

14.Тензор проектування.

15.Які вектори тензором проектування не повертаються?

45

2.5. Знайти матриці переходу для поворотів системи координат на кут (у напрямкупротигодинникової стрілки):

а) навколо осі Ох; б) навколо осі Оу; в) навколо осі Оz. Переконатись, що матриця переходу для повороту на кут ( ) , тобто перетворення, оберненого до даного, збігається із

транспонованою матрицею.

2.6. Знайти матрицю переходу для повороту на кут навко-

ло осі Oz із наступним дзеркальним відображенням у площині xOy (дзеркально-поворотна вісь).

2.7. Знайти матрицю переходу для двох послідовних поворотів на кут навколо осі Oz та кут навколо осі Oy .

2.8. Знайти матрицю переходу для дзеркального відображення у площині, перпендикулярній вектору: а) (0, 0, 1); б) (1, 1, 0);

в) (1, 1, 1); г) n, де n = 1.

2.9.Знайти матрицю переходу для повороту системи координат на кут навколо осі, паралельної вектору: а) (1, 1, 1); б) n ,

де n = 1.

2.10.За яких умов наведені матриці переходу переводять ортонормований базис в ортонормований?

A( 1) A( 2 ) = A( 1 2 ) .

2.12. Довести на прикладах, що результат двох послідовних поворотівнавколо різних осей залежитьвід порядку їх виконання.

47

Розділ 3 Алгебраїчні операції з тензорами

Якщо за допомогою якої-небудь операції з одного або декількох тензорів утворюється інший тензор, то така операція називається тензорною. Основними тензорними операціями є додавання та множення, а також згортка і перестановка індексів. За координатного підходу всі тензорні операції визначаються через компоненти тензорів, але мають інваріантний зміст, тобто означені співвідношення між компонентами тензорів виконуються у будь-якій системі координат. Прицьомуслідзнатипро таке:

1)довільна тензорна операція здійснюється над тензорами, заданими в одній і тій самій системі координат;

2)задача полягає у тому, щоб утворити із компонент тензо- рів-операндів такі комбінації, які також утворюють тензор. Тоді операція має інваріантний зміст, що треба доводити для кожної операції окремо. Якщо нижче для якоїсь із операцій таке доведення не наводиться, пропонуємо зробити це самостійно.

§1. Елементарні лінійні операції

(операції лінійного простору)

Операції лінійного простору визначені лише для тензорів однакового рангу. Приклади наводитимемо для тензорів другого рангу.

1. Рівність a b , якщо в деякій системі координат їх відповідні компоненти однакові. Приклад: aij bij .

2. Нуль тензор 0 . Тензор a 0 , якщо всі його компоненти дорівнюють нулю.

3.Множення на скаляр a b . Приклад: aij bij .

4.Сума c a b . Приклад: cij aij bij .

48

Іще раз підкреслимо, що

у таких операціях беруть участь тільки тензори однакового рангу;

всі означені операції інваріантні, тобто, якщо певні співвідношення між компонентами тензорів мають місце в одній системі координат, то вони зберігають свій вигляд і в будь-якій іншій.

Вправа. Покажіть, що в силу означень 1 – 4 множина тензорів однакової будови (структури) є лінійним простором. Для цього необхідно перевірити виконання восьми аксіом лінійного прос-

тору (див. Вступ).

§ 2. Добутки і згортки

1. Тензорний добуток. Нехай a aij , b bpqr – тензори.

Їх тензорним добутком c a b називається тензор із компонентами cijpqr aijbpqr . Ранг утвореного тензора дорівнює сумі

співмножники, на відміну від доданків у сумі (різниці), можуть бути різного рангу. Діадний добуток векторів є окремим випадком тензорного добутку. Діадний добуток кількох векторів теж

зводиться до тензорного добутку і є асоціативним: (a b ) c a (b c ) a b c .

Тензорний добуток можна використовувати для побудови

c ckl , де ckl aiikl , ранг якого на дві одиниці менший за ранг вихідного тензора, nc na 2 .

49