ovta-posibnyk

(a

r )r

f

з) a(r

b )

b(r

a) ; і) f (r)a

r

(r) ;

2

r

2

a

3(a r )r

к) 2a

r

2a

(a

r ) ; л) 2a(a

r ) ; м)

.

r5

6.2. а) 3, 0; б) 5r2, 0;

в) (n + 3)rn, 0;

г) 2/r, 0;

д) 0, 0;

є) (3 n)r n , 0; ж) 0, 2a ;

div(r (a r )) = (a r )div r r

= 4(a r ) ,

з)

(a r ) = 3(a r ) r a

де використано "елементарні" похідні

div r = 3,

(a r ) = a;

rot(r

(a r )) = a

r

;

і) (a b ) , a b

; к) nrn 2(a r) , nrn 2 r a ;

л) 2(a b) , a b ;

м) 2 a r , 3r a ; н) 0 , ( r2a 3(a r )r )/r5 ;

о) (a r )/r2 , r a /r2 ; п) 0 , 3ra (a r )r .

r

r r

r

6.3. а)

(r) = (r) r

(r) ;

б)

A (r) ;

в)

A (r) .

r

r

r

r

r

6.4. а) (r)a

(r)(a r ) ;

б)

a

A(r) (a

r )

A (r)

;

в)

r

r

г)

r

r

a

A(r)

(a

r )

;

A(r) a

( A (r), a, r )

;

A (r)

r

r

r

r

д)

є)

2(a

A(r))

ra

(a r )

a

.

r

A (r) ;

A(r) (r A(r))

r

6.5. а)

(r)

2

(r) ; б) (r) ;

r

r

(r)

2

; г)

n 2

.

в) A

r

A

(r)

n(n 3)(a

r )r

ikr

(ikr 1)r

6.6. а)

ik eik r ;

б)

r

eikr ;

в)

eikr ;

г)

a

ik(r

a) eik r ;

r

3

ik r

ik r

ik r r

д) i(k

a)e

;

є) i (k

a)e

; ж) e

A

(r) ik

A(r)

;

ikr 1

ikr 1

r

ik r

ikr

ikr

2

з)

(a r )e

; і)

r

a e

;

к) k

e

;

r3

r3

201

2

r

2

r

2ik

2

ikr

2i(k

r ) k

e

ik

л)

;

м)

k

e

.

r3

r

6.7. с/r3, де c = const.

r

a r

6.8. с/r, де c = const.

6.9.

6.10.

e

e

0;

.

B p

A .

2 (r) a (r)

r

c

2mc

6.11. a) (a ) ,

б) grad(div A) grad div A

(grad ) A ( A )grad grad rot A.

б) 0; в)

6.12. a) 3 (r) r

(r) ;

(r)a

(r)(a

r )(r / r).

1

r

r

6.13.

r

r

r a

2a

.

r 2

r

r

r);

6.14. a) A(r)

(r

A (r))(r

r);

б) ( A (r)

B(r)

A(r) B

(r))(r

в) (r)(r

(r)(r

A (r))

A) /r ;

(a r )

r

r

г) (r)

A (r) (r)

A(r)

; д)

r

(r) ;

r

r

є)

(a

r )

r

(r) A(r) (r) A (r) ;

r

a

2

r a

ж) 0; з)

(r)

(r) ; і)

; к)

A (r)

.

r

r3

r

6.15. a) 2a2 ;

б)

4a2 ; в) 2a .

d

dA

dA

6.16. a)

f

;

б)

df

f ; в) f

df

.

df

ремою Стоксаc,

dl

=

c dl

rot c dS

L(S )

L(S )

S

(c

) ndS c

(n

) dS.

S

S

202

Оскільки остання рівність задовольняється для довільного c , то

справедлива тотожність

dl = (n ) dS;

L(S )

S

б)

dl = rot

dS 0 ;

L(S )

S

в)

c

Adl

(c A) dl

( (c

A)) dS

L(S )

L(S )

S

n ( (c

A))dS n

( ( A c )) dS

(n

S

S

)

( A c ) dS (n ) AdS c.

S

S

6.18. ( )2

grad grad dV .

rot

6.19.

A n dS.

V

S (V )

f (r)

6.20. а)

aV ; б) aV ;

в)

3aV

; г) 2a f (r)dV

r

r

a dV;

r

д) 2(a b)V.

6.22. 3Sn .

6.21. (n

a)S.

df (a r )

6.24. а)

4(a r )dV ; б) a

d (a r ) dV ; в)

a grad dV ;

V

V

V

г)

r

a

(a

r )dV .

r

f (r)dV ; д) 2

V

V

6.25. а)

div A

A grad dV ;

б)

B rot A

A rot B dV ;

V

V

в) div( grad ) grad grad dV ;

V

grad rot

г)

AdV ; д) dV

;

V

V

є)

( A)2 rot A

rot

A dV

;

V

dV .

ж)

B rot A

( A )B A

rot B Adiv B

r rot

(r

6.26. а)

A

) A

A dV ;

б)

ia keik r dV ;

V

V

ik r

r

eik r

в) ia

k e

dV ; г) a

ik

dV .

r

2

r

V

V

ia n k eik r dS;

6.27. а)

ieik r k a n dS; б)

S

ik r

S

в)

e

a ikr2 r

dS.

3

S

r

Скористатися

векторною

тотожністю:

6.28. Указівка.

j grad c r div

j c

r c

r div j , де

c

– довільний ста-

лий вектор.

1

6.29. Указівка.

4 r

r .

r

r

8.1. H

= H

=

a

,

H

=

a sin

.

ch cos

ch cos

8.2. H

= H

=

a

,

H =

a sh

.

ch cos

ch

cos

m

8.3. а) T =

2

2 2

z

2

;

б)

T

=

m

r

2

r

2

2

2

2

2

;

2

2

r

sin

в) T = m