Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК6

.pdf

Скачиваний:

137

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 6 «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

2. Методические указания для студентов

(∫f (x)dx)′ = f (x)

2.1НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

2.1.1Основные определения

Отыскание функции F(x) по известному ее дифференциалу f (x)dx ,

называется интегрированием, а искомая функция F(x) - первообразной функцией от функции f (x).

Всякая непрерывная функция f (x) имеет бесконечное множество

первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым

(F(x)+ C)′ = F′(x)= f (x)

Выражение F(x)+ C называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается

∫f (x)dx = F(x)+ C

Справедливость результата интегрирования можно проверить путем дифференцирования.

2.1.2 Свойства неопределенного интеграла

1. d ∫f (x)dx = f (x)dx ,

2. ∫k f (x)dx = k ∫f (x)dx ( k - постоянный множитель)

3. ∫[f1(x)± f2 (x)]dx = ∫f1(x)dx ± ∫f2 (x)dx

4. Если ∫f (x)dx = F(x)+ C, а u - дифференцируемая функция от x

u= ϕ(x), то ∫f (u)du = F(u)+ C

2.1.3Таблица неопределенных интегралов

Таблица 2.1

Таблица неопределенных интегралов

1 ∫x n dx =

x n+1

+ C (n ≠ −1),

2 ∫

= ln

+ C

n +1

∫dx = x + C

∫dx = x +C

∫аxdx =

ln a

∫exdx = ex +C (a > 0, a ≠1),

∫sin x dx = −cos x +C

7 ∫cos x dx = sin x + C

8 ∫

= tg x + C

cos2 x

9 ∫

= −ctg x + C

∫

= 1 arctg x + C

sin2 x

+ x

∫

a + x

+ C

∫

= arcsin x +C

a2 − x2

a − x

a2 − x2

13 ∫

= ln x + x2 +a2 +C

14 ∫

2dx

2 = ln x + x2 −a2 +C

x2 +a2

−a

∫tg x dx = −ln

cos x

∫сtg x dx = ln

sin x

∫sh xdx = ch x +C

∫ch xdx = sh x +C

∫

= −cth x +C

∫

= th x + C

sh2x

ch2x

2.1.4 Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования, связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путем преобразований и применения свойств неопределенного интеграла.

Рассмотрим примеры на применение формулы (1)

∫x

dx =

xn+1

+ C

n +1

Пример 2.1 Вычислить интегралы:

Решение.

∫x

dx =

+ C

x5 2

2 x2

∫ x3 dx = ∫x3 2dx =

+ C =

x5 2

+ C =

x + C

5 2

∫

= ∫x

−4

dx = −

x−3

+ C = −

+ C

3x3

∫2x

xdx = 2∫x

3 2

dx = 2

x5 2

+ C

+ C.

5 2

∫

(2x −3

x )dx = 2

∫

xdx −3 x1 2dx = x2 −3

x3 2

+ C = x2 − 2x3 2 + C =

∫

3 2

= x2 − 2 x x + C.

x + x

dx = ∫

x1 3

dx + ∫

dx = ∫x

1 12

dx + ∫x

3 4

dx =

13 12

7 4

6) ∫

4 x

x1 4

+ C = 1213 x12 x + 74 x4 x3 + C

Пример 2.2

Вычислить интегралы, применив формулы ∫a

dx =

a x

+ C ,

ln a

∫ex dx = ex

+ C

Решение.

∫

dx =

+ C

ln3

∫( 2)x dx =

( 2)x

+ C =

2( 2)x

+ C

ln 2

∫

dx = ∫8

+ C

ln8

(4e)x

∫4x ex dx = ∫(4e)x dx =

+ C =

+ C

ln(4e)

ln 4 +1

32x − 2x

32x

∫

dx = ∫

dx − ∫

dx = ∫8

dx − ∫

dx =

−

+ C П

ln8

ри вычислении интегралов от тригонометрических функций используются тригонометрические формулы:

sin2 x =1 − cos2 x , tg2 x = cos12 x −1, ctg2 x = sin12 x −1, cos2 x =1 − sin2 x ,

sin α cosβ = 12 [sin(α −β)+ sin(α +β)], sin α sinβ = 12 [cos(α −β)− cos(α +β)], cosα cosβ = 12 [cos(α −β)+ cos(α +β)],

sin3 x = sin2 x sin x = (1 − cos2 x)sin x = sin x − cos2 x sin x ,

1 + cos x = 2cos2 x2 , 1 − cos x = 2sin2 x2 ,

arcsin x + arccosx = π2 , arctg x + arcctg x = π2 и другие.

Пример 2.3 Вычислить интегралы, применяя известные тригонометрические формулы и табличные интегралы 6-12.

Решение.

sin2

1 − cos2 x

cos2 x

∫tg

x dx =

∫

dx = ∫

− ∫

dx = tg x −

cos2

cos2 x

cos2

14243

интеграл 8

−

∫dx

= tg x − x + C

{

интеграл1

∫

= ∫

∫

= −

ctg x + C

1 − cos2 x

2sin2 x

sin2 x

123

интеграл 9

3)∫(arctg x + arcctg x)dx = ∫π2dx = π2 ∫dx = π2 x + C

4)∫5cos2 x2 dx = 52 ∫(1 + cos x)dx = 52(∫dx + ∫cos x dx)= 52 (x + sin x)+ C

cos9 x + cos 7 x

2 cos

9x + 7x

cos

9x − 7x

5) ∫

= ∫

dx =

cos8 x

cos8x

= 2∫

cos8x cos x

dx = 2∫cos x dx = 2sin x + C

cos8x

6) ∫

1−sin2 x

= ∫

−∫sin x dx = ln

+cos x +C

sin x

123

Пример 2.4 Вычислить интегралы, применяя табличные интегралы 3, 4, 12-

14.

Решение.
1) ∫	10	dx	= ∫	dx	+ x2	=	1	arctg	x	+ C
	10	+ x2		( 10)2	+ x2		10		10
			14243

интеграл10

∫

= ∫

= arcsin

+ C

5 − x2

( 5)2

− x2

1442443

интеграл12

∫

1 ∫

arcsin

+ C

3 − 2x2

− x

4) ∫

= ∫

1 ln

x + 3

+ C

2 2

x −3

− x

14243

интеграл11

5) ∫

= ln x + x2 ±16 + C

x2 ±

2.2 ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМУЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Свойство (4) для неопределенных интегралов из п. 2.1.2 расширяет таблицу простейших интегралов, каждый из которых может быть записан в

виде ∫du = u + C , ∫u n du =	u n+1	+C (n ≠1) ,	∫Cos u du = Sin u +C
	n +1

и т.д., где во всех формулах под u понимается не только независимая переменная, но и произвольная функция любой независимой переменной, дифференцируемой в некотором промежутке. Рассмотрим два метода интегрирования, основанные на свойстве инвариантности формул интегрирования.

2.2.1 Метод введения функции под знак дифференциала

в обратном порядке, т.е.	f '(x) dx = d[f (x)]

называется введением функции под знак дифференциала. Таким образом, для
известных функций справедливы следующие формулы:
	1
Из дифференциального исчисления известно, что дифференциал функции
f(x) вычисляется по формуле d[f (x)] = f ' (x) dx . Использование этой формулы

dx = d (x ±C),	dx =		d (a x + b) , где a, b, c = Const,
		a
e x dx = d (e x ) ,	a x dx =			1	d (a x ) ,	Sin x dx = −d (Cos x),
				ln a

Cos x dx = d (Sin x) ,	dx	= d (tg x),	dx	= −d (ctg x),
	Cos 2 x		Sin 2 x


dx			dx		= d (arcsin x),	dx	= −d(arccosx),
	= d (ln x),		1− x 2			1−x2
x
dx		= d (arctg x),	dx	= −d (arcctg x)		и другие
1+ x 2			1+ x 2

Тогда определенные типы нетабличных интегралов можно свести к табличным,

т.е.

∫f (x) f ' (x)dx =

∫f (x) d[f (x)]

14243

табличный интеграл

Пример 2.5 Применяя формулу

∫

u n

u ' dx

u n +1

+ C

,вычислить следующие интегралы:

{

n + 1

Решение.

n = 5

∫(x +3)5 dx =

=∫(x +3)5 d(x +3) =

(x +3)5+1

+C =

dx = d(x +3)

5 +1

(x +3)6

∫

∫(x −3)−12 dx =

∫(x −3)−12 d(x −3) = 2 (x −3) 12 + C =

x −

= 2 x −3 +C

∫

2x +5

dx =

(x2

+5x +3)−2

(2x +5)dx =

+5x +

∫ 14243

14243

(x2

+3)−2 d(x2 +5x +3) =

(x2 +5x

+3)−1

∫

= −

+C.

14243

−1

+5x +3

∫

=∫(5x −2)−2dx =

∫(5x −2)−2dx =

dx =1

5dx =

1d(5x −2)

(5x −2)2

(5x −2)−2d(5x −2) =1

(5x −2)−1

+C =−

∫ 123

14243 5

−1

5 (5x −2)

∫sin 2 x cos x dx = ∫sin 2 x d(sin x)

14243 123 14243

d(sin x)

Пример 2.6 Применяя формулу

вычислить следующие интегралы:

= sin 3 x + C. 3

∫ duu = ∫d(ln u) = ln u + C

Решение.

}

1). ∫

∫d (x +1) = ln

x +1

+C.

x +

x +1

{

678

2). ∫

2x dx

= ∫

d (x 2 +1)

= ln (x 2 +1) +C.

x 2 +1

x 2

123

678

x dx

d (x 2 +1)

ln (x 2 +1)

3). ∫

∫

+C.

x 2 +1

x 2 +

123

4).

5).

6).

64748

4x2

dx =

∫

4x2

d (8x3 +19)

∫

dx =

∫

+19

+C.

8x3 +

3 +19

8x3 +19

14243

∫

Sin x

dx = ∫

−d (Cos x +1)

= −ln (1+Cos x) +C.

+Cos x

1+Cos x

14243

d (ex

∫

ex dx

∫

+5)

= ln (ex +5) +C.

+ex

ex +5

Пример 2.7 Применяя формулу, вычислить следующие интегралы:

∫au du =

ln a

Решение.

1).

3x dx =

+C.

∫

ln 3

2).

представим dx в виде

32x

2x dx =

∫

2x d (2x) =

+C.

{

2 ln 3

dx =

d (2x)

3).			представим dx в виде											u
3).														u
											1			678
2	5x	+4 dx =		1			1			=	1	∫	2	5x+4 d (5x + 4) =
2		+4 dx =								=			2	5x+4 d (5x + 4) =
			dx =		5	dx =		d (5x	+ 4)		5			123
			dx =	5	5	dx =	5	d (5x	+ 4)		5			u
				5			5

1 25x+4

=5 ln 2 +C.

4).	678
	u

∫eSin x Cos x dx =

∫eSin x d (Sin x) = eSin x +C.

14243

123

d (Sin x)

5).

∫

tg x

= d (tg x)

= ∫etg x d (tg x) = e tg x +C.

Cos 2 x dx

Cos 2 x

Рассмотрим примеры на внесение функции под знак дифференциала с

использованием других табличных интегралов.

Пример 2.8 Вычислить интегралы:

Решение.

678

1).

∫

= d (arctg x)

= ∫

d(arctg x)

= ln

arctg x

+C.

+ x2 ) arctg x

1+ x2

arctg x

123

2).

3).

∫

arcsin 2 x dx =

= d (arcsin x) =

∫(arcsin x)2

d (arcsin x) =

1− x

14243

arcsin3 x

+C.

∫

= ∫

Sin x

2 Sin

Cos

Sin

Cos 2

Cos

умножили и разделили знаменатель

d (tg

)

на Cos

= d (tg

)

= ∫

= ln

+ C.

Cos

4).

5).

6).

7).

8).

∫

Sin 5x dx =

dx =

5 dx =

∫

{

d (5x)

Sin 5x d (5x)

∫Sin u du = −Cos u +C

= −

Cos 5x +C.

∫Cos (3x −7) dx =

dx =

3 dx =

d (3x −7)

∫

Cos (3x −7) d (3x −7) =

Sin (3x −7) +C.

123

∫ tg 2x dx = ∫

Sin 2x dx

= −

∫

d (Cos 2x)

= −

Cos 2x

+ C.

Cos 2x

}

∫

2x dx

= ∫

d (x 2 )

∫

arctg

x 2

+C.

+ x 4

2 +(x 2 )2

2 +u

{

678

∫

x dx

= x dx = −

d (1 − x

)

= −

∫

d (1 − x

2 )

− x

1 − x

123

= −	1	2 1 − x 2	+ C = − 1 − x 2 + C.
	2

Рассмотренные выше интегралы можно вычислить методом замены переменной.

2.2.2 Интегрирование методом подстановки

Если интеграл ∫f (x) dx не может быть вычислен непосредственно по

формулам (1 – 18), то введением новой независимой переменной во многих случаях удается преобразовать подынтегральное выражение так, что интеграл становится табличным. Замена переменной интегрирования и составляют суть метода подстановки.

Замена переменной производится с помощью подстановок двух видов:

x = ϕ(t)

, где t – новая переменная, ϕ(t) - непрерывно

дифференцируемая функция. Тогда. ∫f (x) dx = ∫f [ϕ(t)]ϕ' (t) dt

Функцию ϕ(t) стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы приобрела более удобный для интегрирования вид;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб103УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб50УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб137УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб74УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx
#
07.05.2019478.21 Кб3УМП Интегралы.doc
#
17.03.2015429.06 Кб19УМП к выполнению заданий 1-5 по информатике.doc