Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК6

.pdf

Скачиваний:

137

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

cos2 x =

(1 + cos 2x)

Пример 2.31 Вычислить интеграл ∫sin 2 x cos4 xdx

Решение.

∫sin 2 x cos4 xdx = ∫sin 2 x cos2 x cos2 xdx = ∫(sin x cos x)2 cos2xdx =

∫

(

sin 2x

1+ cos 2x

dx =

∫sin 2 2x(1

+ cos 2x)dx =

[∫sin2 xdx +

∫

sin 2

2xcos 2xdx]

[

∫

1−cos 4x

∫

sin 2

2xd(sin 2x)] =

14243

d(sin 2x)

sin3 2x

sin 4x

sin3 2x

[∫dx −

∫cos 4xd(4x) +

] =

[x −

] + c

3. Показатели m и n – одинаковой четности (т.е. либо оба четные , либо оба нечетные), причем хотя бы один из них отрицателен. Здесь следует применять подстановку tgx = t или сtg x = t . Если один из показателей –

нечетное положительное число, то лучше использовать подстановку sin x = t (или cos x = t ).

Пример 2.32 Вычислить интеграл ∫sin3 dxx cos x

Решение.

m=-3, n= - 1 – оба отрицательные нечетные, воспользуемся подстановкой

ctgx = t и формулой

=1 + ctg2 x :

sin 2

∫

= ∫

sin x dx

= ∫

sin

x cos x

sin

x cos x

sin

∫	sin x	dx	=
∫	cos x	sin 2 x	=
		123
		−d(cthx)

t 2

= −∫(1+ ctg2x)

d(ctgx)= −∫(1

+ t2 )

dt = −∫

+ t

dt = −ln

−

+ C =

ctgx

= −ln

ctgx

−

ctg2x

+ C

4. Показатели m и n – числа различной четности, причем нечетный показатель является отрицательными. При нахождении таких интегралов используются специальные приемы, один из которых рассмотрим в следующем примере.

Пример 2.33 Вычислить интеграл ∫sin3 xdxcos4 x

101

Решение.

Запишем единицу в числителе следующим образом:

1 = (sin2 x + cos2 x)2 = sin 4 x + 2sin 2 x cos2 x + cos4 x , тогда

∫

= ∫

sin4 x

+ 2sin2 x cos2 x + cos4 x

sin

x cos

sin

x cos

−d(cos x)

64748

sin2 x + cos2 x

= ∫

sin x dx

+ 2∫

+ ∫

+ 2∫

dx +

cos

sin x cos

sin

3cos

sin x + cos

+ ∫

sin2 x + cos2 x

dx =

+ 2∫

sin x dx

+ 2∫

+ ∫

∫

cos2 x

sin

3cos

cos

sin x

3∫

+ ∫

cos2 x

dx =

3cos3 x

cos

sin x

sin3 x

cos

u = cos x

du = −sin x dx

cos x

sin x

64748

∫

dx =

d(sin x )

= −

− ∫

dx =

cos x dx

sin

dv =

v = ∫

2sin

sin

= −

cos x

−

∫

sin x

2sin

+3∫

−

cos x

−

∫

3cos

cos x

sin x

2sin

cos x

∫

cos x

+ c

−

cos x

sin x

cos x

3cos

2sin

123

3cos

2sin

интеграл10 втаблице

В следующем параграфе рассматриваются интегралы от тригонометрических функций, которые с помощью подстановок сводятся к интегралам от рациональных функций

2.6.4 Интегралы от рациональной функции R(sin x, cos x)

Интегралы ∫R(sin x, cos x)dx , где R - рациональная функция,

приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций с помощью соответствующих подстановок, приведенных в следующей таблице 2.2.

102

Таблица 2.2.

Четность,

Подстановка

Используемые

нечетность функции

тригонометрические формулы

относительно sin x, cos x

cos x = t

R(−sin x, cos x) =

−sin x dx = dt

= −R(sin x,cos x)

sin x = t

R(sin x, −cos x) =

cos x dx = dt

= −R(sin x,cos x)

tgx = t

cos x =

x = arctgt

R(−sin x, − cos x) =

1+ tg2x

1+ t 2

= R(sin x,cos x)

dx =

sin x =

tgx

1+ t 2

1+ tg2 x

1+ t 2

4. Случаи 1-3

не

Универсальная

2tg

выполняются

тригонометричес-

sin x =

кая подстановка

1+ tg

2 x

+ t 2

= t

1− tg

1− t

x = 2arctgt

cos x =

2dt

dx =

1+ tg

1+ t 2

Универсальная подстановка используется и в случаях 1-3, но приводит к

сложным вычислениям.

Пример 2.34 Вычислить интеграл ∫

sin3 x

4 + cos x

Решение.

sin3 x

R(sin x, cos x) =

Проверим

четность,

нечетность

функции

+ cos x

относительно sin x:

(−sin x)3

sin3 x

R(−sin x, cos x) =

= −R(sin x,cos x) ,

= −

4 + cos x

подынтегральная

функция нечетна

относительно синуса,

тогда

из первой

строки таблицы следует целесообразность подстановки

cos x = t , −sin x dx = dt

sin3 x

dx =

sin 2 x

sin x dx =

1 −cos2 x

sin xdx =

t 2 −1

dt =

∫4 + cos x

∫ 4 + cos x

∫ t + 4

123

−dt

103

t 2 −1

−

неправильная рациональная дробь

t + 4

t 2 −1

t + 4

t 2 + 4t

t − 4

− 4t −1

4t −16

t 2

cos2 x

= ∫(t − 4 +

dt =

− 4t +15ln

t + 4

+ c =

− 4cos x

+15ln(cos x + 4) + c

t + 4)

tgx

Пример 2.35 Вычислить интеграл ∫

−ctg

Решение.

sin x

R(sin x, cos x) =

cos x

является

четной

относительно sin x и cos x ,

1−(

sin x

cos x

тогда подстановка tgx = t , x = arctgt , dx =

1+ t 2

∫

tgx

= ∫

tg3 x

dx = ∫

= ∫

t3dt

∫

d(t 4

−1)

tg2 − x

t 2

−

t 4 −1

t 4

−1

1−ctg2 x

1 1+ t 2

1`ln

t 4

−1

+ c =

tg4 x −1

+ c

Пример 2.36 Вычислить интеграл ∫

+ 5cos x

Решение.

Функция

R =

не удовлетворяет

строкам 1-3

таблицы 2.2,

3 + 5 cos x

воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой tg x2 = t , x = 2arctgt , dx =12+dtt 2 .

104

∫

= ∫

2dt

= 2∫

= ∫

3 + 5cos x

− t 2

+ t 2

8 − 2t 2

4 − t 2

3 +5

14243

+ t 2

интегрл13

втаблице

t + 2

+ 2

+ c =

+ c

t − 2

− 2

2.7 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Иррациональные функции интегрируются в элементарных функциях только в некоторых определенных случаях. Наиболее употребительны следующие виды интегралов от иррациональных функций, которые выражаются через элементарные функции.

2.7.1 Сведение иррациональных функций к рациональным

1.Интегралы вида ∫R(x,xα ,xβ ,...,xω )dx, где R – рациональная

функция, α =	m1	,	β =	m2	, …,	ω=	mk	- дробные рациональные числа,

	n1			n2			nk

сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки x = t N , где N – общий знаменатель дробей α,β,...,ω

2. Интегралы более общего вида

ax +b

ax +b β

ax +b

∫R x,

,...,

dx ,

рационализируются

cx +d

ax + b

подстановкой

= tN , где N – общий знаменатель дробей α,β,...,ω.

cx + d

Пример 2.37 Вычислить интеграл ∫

x − 2 dx

Решение.

x(3 x +1)

Здесь x входит в подынтегральную функцию с дробными показателями

α =

β =

общий

знаменатель

которых N = 6 ,

следовательно,

подстановка x = t6 , откуда dx = 6t5dt ,

x =

t6 = t3 , 3

x = 3

t6 = t2 .

105

∫	x −2	dx = ∫	t3	− 2	6t	5	dt = 6∫	t3 − 2		dt =
	x(3 x +1)		t6 (t 2 +1)					t(t2	+1)

Получили интеграл от неправильной рациональной дроби. Выделим целую часть, правильную дробь разложим на сумму простейших дробей

t3 −2

t3 + t

t +2

Bt +С

A(t2 +1) +(Bt +С)t

t3 + t

t(t2 +1)

t2 +1

t(t2 +1)

−t −2

A +B = 0 B = −2

C =1

A = 2

t + 2

1 − 2t

= 6

∫

−

= 6

−

t(t2 +

t2 +1

∫

d(t2 +1)

}

= 6(t − 2ln

− arctgt + ln(t2 +1))+ C =

= 6 t − 2ln

− ∫

∫

2t dt

= 6(6 x − 2ln 6

x +1))+ C

x −arctg6

x + ln(3

Пример 2.38 Вычислить интеграл ∫

x − 2

Решение.

x + 2

ax + b

x − 2

Функция

входит в подынтегральную функцию

cx + d

x + 2

с дробным показателем α = 12 , знаменатель которой N = 2 , следовательно,

подстановка t	2	=	x −2	, откуда x =	2(1+ t2 )	,
			x + 2		1− t2

106

(1+ t2 )′(1−t2 )−(1+ t2 )(1−t2 )′

dx = 2

dt =

(1−t2 )2

2t(1−t2 )−(1+ t2 )(−2t)

= 2

(1−t2 )2

x − 2 dx

8t2

1 − t2

t2 dt

Тогда ∫

x = ∫

2(1 + t2 )dt = 4∫

(1 − t2 )(1 + t2 )=

x + 2

(1 − t2 )2

Получим интеграл от правильной рациональной дроби, которую

можно было бы разложить на сумму простейших дробей

Ct + D

. Но предлагаем вычислить интеграл проще с

1 − t

1 + t

1 + t2

помощью следующегоискусственного приема, представив

подынтегральнуюфункциюв виде

(t2 +1)− (1 − t2 )

2t2

1 t2 +1 + t2 −1

(1 − t2 )(1 + t2 )=

(1 − t2 )(1 + t2 )

t2 +

1 − t2

−

(1 − t2 )(1

+ t2 )

− t

+ t2

(1 − t2 )(1 + t2 )

= 4

−

∫

−

∫

1 + t

−

∫

− t2

dt = 2

− t2

+ t

= 2

1 − t

+ t2

− 2arctg t + C = ln

x + 2 +

x − 2

− 2arct g

x − 2

+ C

x + 2 −

x − 2

x + 2

2.7.2Сведение иррациональных функций к тригонометрическим

Втаблице 2.3 приведены интегралы от иррациональных функций и соответствующие подстановки, сводящие их к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций.

107

Таблица 2.3

Интеграл Подстановка Тригонометрические преобразования подынтегральной функции

1. ∫R(x,

a2 − x2 )dx

x = a sin t

− x2

a2 − a2 sin2 t =

dx = a cos t dt

= a

1 −sin2 t = a

cos2 t =

2. ∫R(x,

a2 + x2 )dx

x = a tgt

= a cos t

a2 + x2

a2 +a2 tg2 t =

dx =

cos

= a

1+ tg

= a

cos2 t

cos t

3. ∫R(x, x2 −a2 )dx

x =

−a

a 2

−a

sin t

sin

a cos

dx = −

1−sin2 t

cos2 t

sin

= a

sin2 t

= a

sin2 t

= a cos t

sin t

Пример 2.39 Вычислить интеграл ∫

−x2 )3

Решение.

Данный интеграл типа 1 из таблицы 2.3 Воспользуемся подстановкой

x = 2sin t , dx = 2cos t dt , следовательно

∫

= ∫

2cos t dt

= 2∫

cos t dt

= 2∫

cos t dt

∫

−x2 )3

(4 −4sin2 t)3

(4cos2 t)3 2

8cos3 t

cos2

= 14 tgt +C.

Возвратимся к старой переменной x . Имеем

tgt = sin t	=	sin t		=	x 2	=	x	, откуда окончательно
cos t		1−sin 2 t		1−(x 2)2			4 − x 2
находим ∫	(4	dx	=	x	+C.
	(4	− x2 )3		4 4 − x2

108

Пример 2.40 Вычислить интеграл ∫

x2 +16

dx .

Решение.

Интеграл типа 2 из таблицы 2.3. Воспользуемся подстановкой x = 4 tgt ,

dx =

4dt

, следовательно

cos2 t

∫

+16

dx = ∫

16 tg2 t

+16

4dt

= ∫

tg2 t +1

4 tgt

cos2

tg t

cos2

= 4∫

cos2 t

= 4∫

cos2 t

sin t cos2 t

sin t

cos t

Введем в числителе «тригонометрическую единицу» 1 = sin2 t + cos2 t , представим подынтегральную функцию в виде двух дробей

=4 ∫

sin

t +cos

sin

cos

= 4∫

= 4

sin t cos

678

−d(cos t )

sin t dt

d(cos t)

∫

−∫

∫

+ 4ln

cos2

cos2 t

sin t

cos t

14243

123

интеграл10

∫

=−

из таблицы1

Возвращаясь к исходной переменной x, имеем

tgt =

cos t =

+ tg

+16

tgt

sin t =

1+ tg2 t

x 2 +16

sin t

x2 +16)=

= 1+cos t

x2 +16(1+ 4

4 +

x2 +16

, окончательно

x 2 +16

∫

dx = x

+16

+ 4ln 4 + x 2 +16 + C.

109

Пример 2.41 Вычислить интеграл ∫

Решение.

x2 −9

Интеграл типа 3 из таблицы 2.3, сделаем подстановку x =

cos t

3sin t

dx =

dt , значит

cos2 t

3sin t dt

3 t

∫

cos

∫sin t cos t

x 2

−9

cos2

9 cos2 t

−

− cos2

cos2 t

∫sin t cos t

cos2 tdt =

∫sin t cos t

cos t dt =

1 ∫cos2 t dt

sin 2 t

sin t

cos2 t = 1

+ cos 2t)

∫(1+ cos 2t)dt

sin 2t

+ C.

t +

см. 6.2

Т.к.

x =

, то cos t =

, sin t =

−cos2 t =

1−

x2 −9

cos t

sin 2t = 2sin t cos t =

x 2 −9

, t

= arccos

,то

x 2

−9

∫

−9

arccos

2.7.3 Интегрирование дифференциальных биномов

Дифференциальным биномом называется выражение xm (a + bxn )p dx ,

где m, n, p – рациональные числа. Интеграл от дифференциального бинома

∫xm (a + bxn )p dx приводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях, приведенных в таблице 2.4

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб103УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб50УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб137УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб74УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx
#
07.05.2019478.21 Кб3УМП Интегралы.doc
#
17.03.2015429.06 Кб19УМП к выполнению заданий 1-5 по информатике.doc