УМК6

где a0 , a1,..., an R, a0 ≠ 0, n N .

Установлено, что всякий многочлен Pn (x) с действительными коэффициентами может быть представлен в следующей форме:

линейные и квадратичные множители, то есть множители вида (x − xi ) и

(x2 +p jx +q j ), i, j N .

Числа k1, k2 ,..., kα называют кратностями линейных множителей, а числа t1, t2 ,..., tβ кратностями соответствующих квадратичных множителей.

Эти числа показывают, сколько раз тот или иной множитель встречается в разложении исходного многочлена. Заметим, что формула (1.34) является обобщением формулы разложения многочлена второй степени

ax2 + bx +c = a(x − x1)(x − x2 ), известной из школьного курса математики. Пример 1.17. Разложить на линейные и квадратичные множители

P3 (x) = x3 + x2 +9x +9 .

Решение.

Число x1 = −1 является корнем P3 (x) , так как P3 (−1) = −1+1−9 +9 = 0. Тогда P3 (x) делится без остатка на линейный множитель (x +1) . Выполним

это деление, воспользовавшись правилом деления двух многочленов:

_ x3 + x2 +9x +9 x +1 x3 + x2 x2 +9

_ 9x + 9 9x + 9

0

Итак,

x3+x2 +9x +9 = (x +1)(x2 +9)

21

Множитель (x2 +9) не имеет действительных корней, так как его дискриминант D = −36 < 0 . Следовательно, искомым разложением будет x3+x2 +9x +9 = (x +1)(x2 +9) .

1.5.2 Виды рациональных дробей

Как известно, дробно - рациональной функцией называется функция, представимая в виде отношения двух многочленов

Среди дробно - рациональных функций (рациональных дробей) различают так называемые правильные и неправильные дроби.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае рациональная дробь называется неправильной.

В приведенном выше примере степень числителя m = 2 , степень знаменателя n = 5 . Следовательно, дробь правильная.

Пусть задана неправильная дробь R(x) . Тогда, воспользовавшись правилом деления двух многочленов и разделив ее числитель Pm (x) на знаменатель Qn (x) , R(x) можно представить в виде суммы некоторого многочлена Lp (x) называемого целой частью, и некоторой правильной дроби,

Так как ∫Lp (x)dx (как интеграл от многочлена) легко находится, то задача вычисления интеграла ∫R(x)dx сводится к интегрированию правильной

дроби.

Среди правильных дробей в курсе высшей алгебры выделяют четыре вида так называемых простейших дробей:

В этой же дисциплине установлено, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I – IV типов.

1.5.3 Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей

знаменатель Qn (x) разложен на линейные и квадратичные множители (1.34), где a0 =1, то есть

Qn (x) = (x − x1)k1 ... (x − xα )kα (x2 + p1x + q1)t1 ...(x2 + pβx + qβ)tβ .

Тогда справедлива теорема (принимается без доказательства).

(x2 + p2x +q2 )t2 ... (x2 + pβx +qβ)tβ ,

то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме:

где A1,A2 ,...,Ckα ,M1, N1, ...,Dtβ , Etβ некоторые действительные числа.

Из (1.38) следует, что каждому линейному множителю (x − xi ) в степени ki соответствует ki простейших дробей I и II видов, а квадратичным

23

множителям (x2 +pjx +q j ) в степени t j , соответствуют t j простейших дробей

III и IV видов.

Существуют несколько методов поиска неизвестных коэффициентов входящих в (1.38).

Одним из них является метод неопределенных коэффициентов. По этому методу приводят правую часть (1.38) к общему знаменателю. Так как общим знаменателем является Qn (x) , то из равенства дробей следует равенство их числителей, иными словами, равенство двух многочленов Pm (x) и многочлена, образующего в числителе правой части (1.38). Так как два многочлена тождественно равны друг другу только при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x , то приравнивая эти коэффициенты при x в нулевой степени, при x в первой степени, при x2 , и т.д. получим линейную систему из n уравнений с n неизвестными A1, A2 , ... , D1, E1,... Решив эту систему и подставив найденные коэффициенты A1, A2 , ... , D1, E1,... в (1.38), получим искомое разложение правильной дроби на сумму простейших.

Пример 1.18 Разложить на простейшие дроби

Знаменатель Qn = (x − 2)2 (x2 +3) содержит два множителя. Множитель

(x −2) является линейным множителем второй кратности. Множитель (x2 +3) является квадратичным множителем первой кратности. Тогда согласно (1.38)

Приводя к общему знаменателю, получим

x2 + 2x + 2 = A(x −2)(x2 +3) + B(x2 +3) +(Mx + N)(x −2)2. (2) Раскрывая скобки в правой части (2), получим

x2 +2x +2 = (A +M)x3 +(−2A +B −4M + N)x2 + +(3A +4M −4N)x +(−6A +3B +4N).

24

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой части этого равенства, получим систему линейных уравнений

x3 : A + M = 0,

x2 : −2A +B −4M + N =1,

x: 3A +4M −4N = 2,

x0 : −6A +3B +4N = 2.

Иногда удается упростить нахождение коэффициентов в разложении R(x) на простейшие дроби. Действительно, равенство (2) является тождеством

Этот метод особенно эффективен, если знаменатель Qn (x) имеет только простые действительные корни. Если же не все корни знаменателя являются таковыми, то полезно применять комбинировано оба приема.

1.5.4 Интегрирование простейших дробей

Проблема нахождения интеграла от правильной рациональной дроби согласно равенству (1.38) сводится к последовательному вычислению интегралов от каждого слагаемого правой части этого равенства. Так как в правой части (1.38) каждое слагаемое представляет собой один из четырех видов простейших дробей, то для вычисления интеграла от правой части достаточно уметь находить интегралы от простейших дробей I – IV типов.

26