Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК6

.pdf

Скачиваний:

137

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

b	′	b	b	′	(1.73)
	′	b		′
∫u(x) v (x)dx = u(x) v(x)		a	− ∫v(x) u (x)dx .
a			a

Формула (1.73) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Эту формулу можно написать в более короткой форме

			b		b
			∫u dv = u v		ab − ∫v du ,			(1.74)
			∫u dv = u v		ab − ∫v du ,			(1.74)
			a		a
если воспользоваться равенствами
			′		′
	du = u (x)dx ,			dv = v (x)dx .
			π
Пример 1.28 Найти			2∫x cos x dx .
Решение.			0
Решение.
Полагая u = x , dv = cos xdx , вычислим du = dx ,								v = ∫cos x dx = sin x .
Применяя формулу интегрирования по частям, найдем
π	π	π				π
2∫x cos xdx = xsin x	02 −	2∫sin xdx = π		+cos x		02 =	π	−1.
							π	−1.
							2
0		0	2				2

1.15 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При определении определенного интеграла как предела интегральный сумм, мы предполагаем, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то данное выше определение определенного интеграла теряет смысл. Обобщим понятие интеграла как на случай функций, определенных на неограниченных промежутках, так и на случай неограниченных на конечных промежутках функций.

1.15.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция f (x) определена на промежутке [a, +∞[ и интегрируема

по любому	отрезку	[a, b], где b > a .		Следовательно, существует
		b
определенный	интеграл	∫f (x)dx ,	являющийся	функцией	своего верхнего
		a	b
предела интегрирования. Тогда			b	называют	несобственным
предела интегрирования. Тогда			lim ∫f (x)dx	называют	несобственным
			b→∞ a

интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования и обозначают символом

+∞
∫f (x)dx .	(1.75)

Следовательно, по определению

+∞	b	(1.76)
∫f (x)dx = lim ∫f (x)dx .		(1.76)
a	b→∞ a

Если предел (1.75) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично интегралу (1.75) на промежутке ] −∞, b] вводится несобственный интеграл с

бесконечным нижним проделом интегрирования:

b		b	(1.77)
∫f (x)dx =		lim ∫f (x)dx .	(1.77)
−∞		a→−∞ a
Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется
формулой
∞	c	∞
∫f (x)dx =	∫f (x)dx + ∫f (x)dx ,		(1.78)
−∞	−∞	c	∞
где c любая фиксированная	точка оси Ox . Интеграл		∞
где c любая фиксированная	точка оси Ox . Интеграл		∫f (x)dx сходится

−∞

только тогда, когда сходится каждый из интегралов:

c∞

∫f (x)dx и ∫f (x)dx

−∞ c

y = f (x)

0 a	b	x	0	a	b	x


	Рис. 1.6				Рис. 1.7

Из определений следует, что несобственный интеграл является пределом определенного интеграла с переменной границей интегрирования.

Рассмотрим геометрический образ сходящегося несобственного

интеграла. Пусть f (x) > 0 на [a, b]. Тогда определенный интеграл ∫f (x)dx

выражает площадь криволинейной трапеции, опирающуюся на отрезок [a, b].

Согласно определению естественно считать, что несобственный интеграл

+∞

∫f (x)dx выражает площадь криволинейной трапеции, изображенной на

рис. 1.6. Аналогичная интерпретация имеет место для интегралов (1.77) и (1.78).

Пример 1.29 Исследовать на сходимость интегралы:

+∞

∞

а)

∫

; б) ∫cos xdx ; в)

∫exdx .

1+ x2

−∞

Решение.

а) по формуле (1.76) имеем

∞

= lim arctg x

= lim [arctg b −arctg 0]=

∫

lim ∫

;

0 1+ x2

b→+∞ 0 1

+ x2

b→+∞

б) по определению

+∞

= lim

= lim sin x

0a = lim sin a ,

∫cos x dx

a→+∞ 0

a→+∞

так

как

предел

функции

sin a

при

a → +∞ не существует,

то интеграл

расходится; в) представим данный интеграл по формуле (1.78) как сумму двух

несобственных интегралов, взяв в качестве промежуточного предела интегрирования точку x = 0 (c = 0) :

+∞

= lim

∫ exdx =

∫exdx

∫ exdx

∫exdx + lim

∫exdx =

−∞

a →−∞ a

b→+∞ 0

= lim ex

+ lim ex

b = e0

− lim ea + lim eb

−e0 = ∞

→−∞

b→+∞

a →−∞

b→+∞

Интеграл расходится.

∞ dx

Пример 1.30 Исследовать на сходимость несобственный интеграл

для различных значений α R .

∫

1 x

Решение.

1 Пусть α ≠1, тогда для любого b > 0 .

−α+1

1−α

−1

b dx

lim

∫

= lim

α −1, при α >1;

1−α

b→+∞ 1 x

b→+∞−α +1

b→+∞

∞, при α <1.

2 Если α =1, то для любого b > 0

lim

b dx

∫

= lim ln x

1 = lim ln b = ∞.

b→+∞ 1 x

b→+∞

∞ dx

сходится при α >1 и расходится при α ≤1.

Таким образом ∫

1 x

В некоторых случаях достаточно установить только сходимость или расходимость заданного интеграла. Для решения такой задачи можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема 1.13 Если функции f (x) и g(x) непрерывны на промежутке [a, +∞[ и удовлетворяет условию 0 ≤ f (x) ≤ g(x) , то из сходимости интеграла

+∞			+∞
∫g(x)dx ,	следует	сходимость	интеграла ∫f (x)dx , а из	расходимости
a	+∞		a	+∞
	+∞			+∞
интеграла	∫f (x)dx	следует	расходимость интеграла	∫g(x)dx (без
	a			a

доказательства).

Пример 1.31 Исследовать на сходимость несобственный интеграл

∞е−xdx

0∫1+ x2 .

Решение.

Вводим функции Тогда на [0; +∞[

Из примера 1.29 п. а)

f (x) =	e−x	и g(x) =	1	.
	+ x2		+ x2
1		1

0 ≤ f (x) ≤ g(x) , так как e−x <1 на этом промежутке.

∞ dx

следует, что 0∫1+ x2 сходится, тогда по теореме 1.13

∞е−xdx	сходится.
0∫1+ x2

1.15.2 Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция f (x) определена на промежутке [a, b[. Точку x = b будем называть особой, если функция f (x) неограничена в любой окрестности этой точки, но ограниченна на любом отрезке [a, b −ξ], заключенном в [a, b]

(рис. 1.7). Пусть на любом отрезке [a, b −ξ],		функция интегрируема, то есть
	b−ξ	при любом ξ > 0, таком, что
существует определенный интеграл	∫f (x)dx	при любом ξ > 0, таком, что
b −ξ > a . Тогда	a
b −ξ > a . Тогда
lim	b−ξ
lim	∫f (x)dx	(1.79)
ξ→0	a

называют несобственным интегралом от неограниченной при верхнем пределе

интегрирования функции и обозначают ∫f (x)dx .

Следовательно, по определению

b		b−ξ
∫f (x)dx = lim		∫f (x)dx .	(1.80)
a	ξ→0	a

Если предел (1.79) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично, если x = a особая точка, то вводится несобственный интеграл от неограниченной при нижнем пределе интегрирования функции:

b	b
∫f (x)dx = lim ∫f (x)dx .
a	ξ→0 a+ξ
Если	функция f (x) не ограничена в окрестности какой-нибудь

внутренней точке C [a, b], то вводится понятие несобственного интеграла от неограниченной во внутренней точке функции по правилу

b	c	b
∫f (x)dx = ∫f (x)dx + ∫f (x)dx .
a	a	c
При	этом	интеграл в левой части считается сходящимся, если

одновременно сходятся оба интеграла в правой части данного равенства. В

противном случае интеграл является расходящимся.

Пример 1.32 Исследовать на сходимость несобственный интеграл

для различных значений α R .

Решение.

1 Если α ≠1, то

1 dx

1−α

+∞, при α >1;

−ξ

lim

∫

lim

, при 0

< α <1.

ξ→+0

ξ xα

ξ→+01

−α

ξ→+0

1−α

−α

2 Если α =1, то

1 dx

0∫ xα

lim	1 dx		=	lim ln x	1	= lim (−ln ξ) = ∞

	∫	x			ξ
ξ→+0	ξ			ξ→+0		ξ→+0

Итак, данный интеграл сходится при 0 < α <1 и расходится при α ≥1.

1.16 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1.16.1 Вычисление площади в декартовых координатах

Выше было установлено, что если на сегменте [a, b] функция y = f (x) непрерывна и положительна, то площадь криволинейной трапеции с основанием [a, b], ограниченной сверху графиком этой функции, вычисляется по формуле

	b	b
	S = ∫f (x)dx = ∫y dx .			(1.81)
	a	a
y	y = − f ( x)	y
	y = − f ( x)
	b	А
a	b
0	x	0	С			х
Рис. 1.8	y = f (x)				B
	y = f (x)			Рис. 1.9
				Рис. 1.9

Пусть f (x) < 0 на сегменте [a, b] (рис.1.8)

Криволинейная трапеция с основанием [a, b], ограниченная снизу кривой y = f (x) , лежит ниже оси Ox . Её площадь S равна площади другой криволинейной трапеции, имеющей то же основание, но ограниченной сверху

кривой y = −f (x) (см. рис. 1.8).	По условию	f (x) < 0 ; следовательно,
−f (x) > 0. По формуле (1.81) найдем
b	b
S = ∫[−f (x)]dx	= −∫f (x)dx .	(1.82)
a	a

Формулы (1.81) и (1.82) можно объединить в одну:

b
S = ∫	f (x)	dx .	(1.83)
a

Эта формула остается справедливой и в том случае, когда функция f (x) на сегменте [a, b] меняет знак (рис. 1.9).

y		y = f2 (x)			y
	C	y = f2 (x)		D	a	b
					a	b
					0	x
	A			B	0	x
	A	y = f1 (x)		B	C	y = f2 (x)
		y = f1 (x)			C	D
						D
0	a	Рис. 1.10	b	x	A y = f1 (x) B
		Рис. 1.10				Рис. 1.11
						Рис. 1.11
Вычислим площадь			фигуры,		ограниченной	снизу и сверху графиками

функций y = f1(x) и y = f2 (x) , двумя прямыми x = a и x = b , где f1(x) , f2 (x)

непрерывные функции на [a, b], причем всюду на этом отрезке f1(x) ≤ f2 (x)

(рис. 1.10).

Искомая площадь равна разности площадей криволинейных трапеций aCDb и aABb:

пл ACDB = пл aCDb −пл aABb =

= ∫f2

b	b	[f2 (x) −f1(x)]dx.	(1.84)
(x)dx − ∫f1(x)dx = ∫		[f2 (x) −f1(x)]dx.
a	a

Формула справедлива при любом расположении графиков функций y = f1(x) и y = f2 (x) , лишь бы f1(x) ≤ f2 (x) на [a, b] (рис. 1.11).

Замечание 1.2 Если криволинейная трапеция прилегает к оси Oy (рис. 1.12), то ее площадь может быть вычислена по формуле

d	d
S = ∫	ϕ(y)dy = ∫x dy .	(1.85)
c	c

Площадь фигуры, изображенной на рис. 1.13, вычисляется по формуле

S = d∫[ϕ2 (y) −ϕ1(y)]dy .

(1.86)

x =ϕ( y)

x =ϕ (y)

x =ϕ2(y)

Рис. 1.12

Рис. 1.13

Пример 1.33 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y2 = 2x +1 и y −x +1 = 0 (рис. 1.14)

y2 = 2x +1

Решение.

Уравнениями границы

фигуры являются

парабола y2 = 2x +1

осью симметрии

−1

4 x

Ox и вершиной в

точке

(−0,5; 0) и

прямая y = x −1.

y = x −1

Рис. 1.14

Выбрав

за

независимую

переменную y , перепишем уравнения границ в виде x =			1	(y2	−1) и x = y +1.
переменную y , перепишем уравнения границ в виде x =			2	(y2	−1) и x = y +1.
			2
Площадь		фигуры найдем по формуле (1.63),		где	ϕ2 (y) = y +1,
ϕ (y) =	1	(y2 −1) .
ϕ (y) =		(y2 −1) .
1	2
	2

Решая совместно уравнения границ, найдем промежуток интегрирования. Имеем

(y −1)

(y2 −1)= y +1 y2 −1 = 2y + 2

x =

x = y

y2 −2y −3 = 0 y = c = −1, y

= d = 3.

Подставляя

найденные

величины

c, d, ϕ1(y), ϕ2 (y) в расчетную

формулу, получим

S =

∫

y +

1−

(y2 −1) dy =

∫ y −

y2 +

dy =

−1

−

6 2

2 6 2 2 6 2 3

−1

Ответ:

кв. ед.

Замечание 1.3 Для вычисления площади криволинейной трапеции в

случае, когда кривая

AB задана

параметрическими

уравнениями x = ϕ(t),

y = ψ(t) , α ≤ t ≤ β, причем ϕ(α) = a ,

ϕ(β) = b , в формуле (1.81) надо сделать

замену переменной, положив x = ϕ(t),

′

dx = ϕ

(t)dt .

Тогда получим

′

(1.87)

S = ∫ψ(t) ϕ

(t)dt .

1.16.2 Площадь криволинейного сектора

Пусть кривая AB задана	в полярных координатах уравнением
ρ = ρ(ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β, причем функция	ρ(ϕ) непрерывна и неотрицательна на

отрезке [α, β]. Плоскую фигуру, ограниченной кривой AB и двумя лучами

ϕ = α и ϕ = β, составляющими с полярной осью углы α и β, соответственно будем называть криволинейным сектором (рис. 1.15).

Докажем, что площадь S криволинейного сектора вычисляется по формуле

				1	β
			S =		∫ρ2 (ϕ)dϕ.			(1.88)
			S =	2	∫ρ2 (ϕ)dϕ.			(1.88)
				2	α
Доказательство.			Разобьем		произвольно отрезок [α, β] на n частей
точками: α = ϕ0	< ϕ1 < ϕ2 < ... < ϕi−1 < ϕi < ... < ϕn = β.
		ρ = ρ(ϕ)					C
B		C	ϕi
B		C	D				ϕi	D
			D					D

					ϕ		ϕ =ξi
				A	ϕ	i−1	ϕi
				A		i−1
	α	β	ξi		0		Рис. 1.16	l
0		β	ξi					l
					l

	Рис. 1.15
	Рис. 1.15

Выберем на каждом частичном отрезке [ϕi−1,ϕi ] произвольную точку ξi и построим элементарные круговые секторы с радиусами ρi = ϕ(ξi ) (рис. 1.16). В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади заданного криволинейного сектора. Площадь каждого

элементарного кругового сектора равна						1	ρ2	(ξi ) ϕi , где	ϕi = ϕi −ϕi−1,
элементарного кругового сектора равна					2		ρ2	(ξi ) ϕi , где	ϕi = ϕi −ϕi−1,
					2
i =		.
i =	1, n	.
Тогда площадь S данного криволинейного сектора приближенно равна
			1	n	(ξi )
		S ≈	1	∑ρ2				ϕi .	(1.89)
		S ≈		∑ρ2				ϕi .	(1.89)
			2 i=1

Сумма в правой части (1.89) является интегральной суммой для функции ρ2 (ϕ)

на [α, β]. Так как функция ρ2 (ϕ) непрерывна на отрезке [α, β], то существует

предел этой суммы при λ = max ϕi → 0 и равен определенному интегралу

1≤i≤n

(1.88). Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому интегралу:

S =	1	lim	n	ρ2	(ξi )	ϕi =	1	β	ρ2 (ϕ)dϕ.
			∑					∫
							2
	2 λ→0 i=1							α

Пример 1.34 Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли: (x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ).

Решение.

Найдем уравнение границы фигуры в полярной системе координат, положив x = ρcos ϕ, y = ρsin ϕ.

Тогда

(x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ) (ρ2 cos2 ϕ+ρ2 sin2 ϕ)2 = = a2 (ρ2 cos2 ϕ−ρ2 sin2 ϕ) ρ4 (cos2 ϕ+sin2 ϕ)2 =

= a2ρ2 (cos2 ϕ−sin2 ϕ) ρ2 = a2 cos 2ϕ ρ = a cos 2ϕ.

(см. рис. 1.17).

Так как изображенная на рис. 1.17 фигура является симметричной относительно осей x и y , то достаточно для решения всей задачи определить площадь четвертой части всей фигуры (заштрихованная часть). Для этой

области переменная ϕ изменяется

от

0 до

π , следовательно, площадь

заштрихованной фигуры найдется по формуле

3π

ϕ =

∫ρ2 (ϕ)dϕ =

∫a

2 cos 2ϕdϕ,

а площадь всей фигуры по формуле

S = 4S1 или

ϕ =

5π

ϕ =

7π

S = 2a2 4∫cos 2ϕdϕ = a2 sin 2ϕ

4 = a2 .

Рис. 1.17

Ответ: a2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб103УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб50УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб137УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб74УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx
#
07.05.2019478.21 Кб3УМП Интегралы.doc
#
17.03.2015429.06 Кб19УМП к выполнению заданий 1-5 по информатике.doc