4.3.1.Образование и распространение волн в упругой среде

V =

E

(4.3.1)

ρ

и для поперечной волны.

V =

G

(4.3.2)

ρ

Здесь Е – модуль Юнга,

G – модуль сдвига.

волны (рис. 4.3.2). При этом радиус элементарной вторичной волны ri = V

t .

4.3.2.

Уравнение бегущей волны

Бегущими волнами называют волны, распространяющиеся в не ограничен-

ной среде, где нет отражений.

Пусть в точке среды с координатой

х = 0 происходит гармоническое ко-

лебание с частотой ω. Смещение точки

S от по-

ложения

равновесия

описывается уравнением

λ = VT

S = S0 cosωt , где

S0 – амплитуда колебания. Это

A

X

колебание передается вдоль оси х

со скоростью

V.

В точку

А

оно переместится спустя время

x

τ =

x

(рис. 4.3.3).

Колебательное движение в

Рис. 4.3.3

V

этой точке будет отставать по фазе от точки х = 0 на

ωτ и, следовательно, бу-

дет описываться соотношением:

x

(4.3.3)

S = S0 cos ω(t − τ)= S0 cos ω t −

V

направлении оси х,

т.е. точек волны, колеблющихся в одинаковой фазе. Рас-

стояние, пройденное волной за период, называют длиной волны λ:

λ = VT =

V

;

V = λ = λν.

(4.3.4)

ν

T

Уравнение

(4.3.3)

2π

часто записывают в ином

виде. Т.к.

ω

=

2πx

=

2πx

= kx ,

где k =

− волновое число, то из (4.3.3)

получим

V

TV

λ

λV

S = S0 cos(ωt − kx).

(4.3.5)

Из этой формулы можно найти фазовую скорость

V = dx =

ω

(4.3.6)

dt

k

Можно показать, что (4.3.5)

является решением дифуравнения вида

d2S

=

V

2

d2S

.

(4.3.7)

dt2

dx2

−

фронта, то за время

dt

он переместится на расстояние dx = V dt

(рис. 4.3.4), и

частицы

в объеме

dV = S dx = SV dt

приводятся в колебательное движение.

Если

ϖ − плотность энергии колеблющихся частиц в объеме

dV,

то через

площадь S за время dt

будет перенесен поток энергии Ф:

Ф= dE

= ϖS dx

= ϖSV .

dt

dt

S

V

Величиной плотности потока энергии

или

интен-

сивностью волны

I

называют энергию, перенесенную

x

за единицу времени через единицу площади по нормали

к ней:

Ф

dx

I =

(4.3.8)

Рис. 4.3.4

S = ϖV .

mS02ω2

Для механических волн энергия колеблющейся частицы равна

, а

2

nmω2S2

плотность энергии

ϖ =

,

где

n и

m – концентрация и масса частиц,

0

2

S0 и ω − амплитуда и частота колебаний, т.к.

nm = ρ − плотность среды, то

I =

ρVS2

ω2

ρVU2

(4.3.9)

0

=

2

,

2

где

U = S02ω2 − амплитуда скорости колебаний.

4.3.4.

Стоячие

волны

Если размеры среды, где распространяется волна, ограничены, например,

веревка или струна с закрепленными концами, то бегущие волны будут отра-

жаться от обоих концов. Тогда колебания будут представлять положение таких

волн, распространяющихся взад и вперед, и образуется стоячая волна.

Пусть уравнения бегущей и отраженной волн будут

S1 = S0 cos(ωt − kx);

S2 = S0 cos(ωt + kx).

В результате сложения получаем

S = S1 +S2 = 2S0 cos kx cosωt .

(4.3.10)

Это есть уравнение стоячей волны. Ее амплитуда A(x) = 2S0 cos kx .

В точках, где

cos kx = ±1

или

2πx

= πn,

(n = 0, 1, 2, …)

амплитуда

λ

достигает максимального значения 2S0

(пучности стоячей волны):

xпучн = ±

1

.

(4.3.11)

2λn

2πx

1

В точках, где cos kx = 0

или

(n = 0, 1, 2, …),

амплитуда

λ

= ± n +

2

π

обращается в нуль (узлы стоячей волны):