- •краткий курс лекций
- •1.1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •1.2 Основные задачи курса
- •2. СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
- •2.1 Центральное проецирование
- •2.2 Параллельное проецирование
- •2.3 Основные свойства параллельного проецирования
- •2.4 Прямоугольное проецирование
- •3. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ В ТРЕХ ВИДАХ
- •4. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •4.1 Горизонталь
- •4.2 Фронталь
- •4.3 Профильная прямая
- •4.4 Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)
- •4.7 Прямые наибольшего уклона плоскости и определение углов наклона плоскости к плоскостям уровня
- •5. ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6.1 Фронтальная плоскость Ф
- •6.2 Горизонтальная плоскость Г
- •6.3 Профильная плоскость П
- •6.4 Вертикальная плоскость
- •6.5 Наклонная плоскость
- •6.6 Плоскость перпендикулярная профильной плоскости проекций
- •7. ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •8. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •8.1 Взаимное положение точки и прямой
- •8.2 Точка и плоскость, прямая и плоскость
- •9. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
- •10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА И УГЛОВ ЕГО НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ УРОВНЯ.
- •11. УСЛОВИЯ ВИДИМОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
- •12. ЛОМАНЫЕ И КРИВЫЕ ЛИНИИ (ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ). ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
- •13.1 Поверхности вращения
- •13.2 Линейчатые поверхности
- •13.3 Поверхности второго порядка
- •13.4 Винтовые поверхности
- •13.5 Циклические поверхности
- •13.6 Топографические поверхности
- •14. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПОВЕРХНОСТИ, ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
- •14.1 Построение линий на гранных поверхностях
- •14.2 Построение линий на поверхностях вращения
- •АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •15. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •16. ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОСЯМ
- •17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •17.1 Основное предложение аксонометрии
- •17.2 Свойства ортогональной аксонометрической проекции
- •18. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •18.1 Прямоугольная изометрия
- •18.2 Прямоугольная диметрия
- •18.3 Косоугольная фронтальная диметрия
- •19. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК
- •20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ
- •21. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ
- •21.1 Плоскость частного положения
- •21.2 Плоскость общего положения
- •22. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
- •22.1 Прямые профильного положения
- •23. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •2. Пересечение прямой с плоскостью
- •24. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ (МНОГОГРАННОЙ И КРИВОЙ)
- •24.1 Первый тип задач – прямая общего положения и проецирующая поверхность
- •24.2 Второй тип задач –прямая частного положения и поверхность общего положения
- •24.3 Третий тип задач - прямая и поверхность не имеют вырожденных видов
- •25. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
- •25.1 Параллельность плоскостей
- •25.2 Пересечение плоскостей
- •26. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРЫ СЕЧЕНИЯ
- •26.1 Пересечение многогранника проецирующей плоскостью
- •26.2 Пересечение кривой поверхности плоскостью
- •26.2.1 Проецирующая плоскость
- •26.2.2 Заранее известен вид кривой (второй тип задач)
- •26.3. Пересечение поверхности плоскостью общего положения
- •28. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ.
- •28. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •28.1 Первый тип задач - обе поверхности имеют вырожденный вид
- •28.2 Второй тип задач - одна из поверхностей имеет вырожденный вид.
- •29. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •29.2 Третий тип задач - пересечение поверхностей общего положения
- •29.3 Частные случаи пересечения
- •30. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •31. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •32. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
- •32.1 Круговые сечения поверхностей второго порядка
- •МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
- •34. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ
- •34.1 Перпендикулярность прямой и плоскости
- •34.2 Перпендикулярность плоскостей
- •35. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА
- •СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
- •37. ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
- •39. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ
- •40. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЁРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •41. РАЗВЁРТКИ ПИРАМИДЫ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
- •41.1 Развертка поверхности пирамиды
- •41.2 Развертка конической поверхности
- •42. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
дателя понижается, то такую плоскость называют нисходящей.
На комплексном чертеже оба вида треугольника, которым задана восходящая плоскость, имеют одинаковые обходы (рис. 3-7а). Изображения треугольника, задающего нисходящую плоскость, имеют противоположные обходы (рисунок 3-7б).
а)
С
А
А |
С |
Рисунок 3-7
Поскольку способов задания плоскости несколько и разных, бу-
дем считать, что на комплексном чертеже проекции восходя-
щей плоскости ориентированы одинаково, а нисходящей - противоположно.
8.ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
8.1Взаимное положение точки и прямой
|
|
|
Относительно прямой общего поло- |
|
|
|
жения l (рисунок 3-8) построим следую- |
|
|
|
щие точки: |
|
|
|
1. точка А принадлежит l (А l). Зада- |
|
|
|
ча решается на основании свойства при- |
|
|
|
надлежности; |
|
|
|
2. точка В над прямой. |
|
|
|
Как построить точку на прямой мы те- |
|
|
|
перь знаем, а поскольку она должна быть |
|
|
|
над прямой, т, е. выше нее, необходимо |
|
|
|
внести соответствующее изменение в |
|
|
|
положение точки на виде спереди; |
|
|
|
|
|
Рисунок 3-8 |
|
3. точка С за прямой. |
Аналогично предыдущей задаче приходим к выводу, что за прямой означает дальше нее, чему соответствует изменение положения точки на виде сверху.
8.2 Точка и плоскость, прямая и плоскость
|
Дана плоскость общего поло- |
|
|
||
|
жения Б ( АВС), (рисунок 3-9). |
|
|
Построим точку М на плоскости |
|
|
Б и точку N под плоскостью Б. |
|
|
Чтобы построить точку на плос- |
|
|
кости, необходимо: |
|
|
1) на этой плоскости Б провес- |
|
|
ти (или выделить) любую прямую l, |
|
|
для чего провести прямую l через |
|
|
две точки принадлежащие плоско- |
|
|
сти (в нашем случае т.т. А и 1); |
|
|
2) на этой прямой взять произ- |
|
Рисунок 3-9 |
||
вольную точку, например М (свой- |
||
|
ство принадлежности).
Чтобы построить точку N под заданной плоскостью, необходимо вначале, как сказано выше, найти точку, принадлежащую плоскости, а затем, на, виде спереди изображение ее опустить ниже прямой l (значит и ниже плоскости).
9.ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
10.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА И УГЛОВ ЕГО НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ УРОВНЯ.
11.УСЛОВИЯ ВИДИМОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ.
9. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
Дан отрезок общего положения АВ (рисунок 4-1).
Необходимо разделить этот отрезок точкой С в отношении, например, 3:2, т.е.
АС / CB =3/2.
Для этого через один из концов отрезка (точку А или В) на любом из видов (спереди или сверху) проводим в произвольном направлении луч и на нем откладываем пять одинаковых (т.к. 3+2=5) отрезков
произвольной длины.
Рисунок 4-1 Конец последнего (на луче) отрезка соединяем с другим концом отрезка АВ, а затем через точку 2 проводим СЗ//А5. Точка С делит отрезок АВ в требуемом отношении (на основании свойства прямых, пересеченных параллельными прямыми - теорема ФАЛЕСА).
10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА И УГЛОВ ЕГО НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ УРОВНЯ.
При решении различных общегеометрических задач часто возникает необходимость определения натуральной величины отрезка по его комплексному чертежу.
Если отрезок принадлежит прямой уровня - горизонтали, фронтали или профильной прямой, то в этом случае натуральная величина отрезка имеется на одном из видов:
•для горизонтали - на виде сверху;
•для фронтали - на виде спереди;
•для профильной прямой - на виде слева.
Если же отрезок принадлежит прямой общего положения, то на всех проекциях (видах спереди, сверху, слева) его изображение
Рисунок 4-2
будет меньше самого отрезка.
Для определения натуральной величины отрезка и углов наклона его к плоскостям уровня применяют способ прямоугольного треугольника (рисунок 4-2).
Рассмотрим АВВ (рисунок 4-2). Здесь АВ= АВ ; ВВ = Н (разность высот точек А и В - концов отрезка.); АВ*= АВ (проекция отрезка).
Таким образом если, имея комплексный чертеж отрезка, мы сумеем построить прямоугольный треугольник катетами которого будут –1)одна из проекций отрезка и 2)разность измерений концов отрезка, отмеряемых от соответствующей первому катету плоскости проекций (от Г- высот, от Ф - глубин, от П – широт), то гипотенуза полученного треугольника будет равна натуральной величине отрезка.
При этом угол между гипотенузой треугольника и проекцией отрезка равен углу наклона отрезка к плоскости проекций (Г, Ф, или П соответственно), (рисунок 4-2б).
Строить такой прямоугольный треугольник по двум катетам можно в любом удобном месте чертежа.
Пример 1. Определить угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости (рисунок 4-3).
Для определения указанного угла удобно построить прямоугольный треугольник, приняв фронтальную проекцию отрезка в качестве его первого катета. Вторым катетом треугольника в этом случае будет разность глубин концов отрезка измеренная на горизонтальной проекции (виде сверху).
Угол α между первым катетом и гипотенузой и будет искомым. Попутно определится и длина отрезка равная длине гипотенузы треугольника.
Рисунок 4-3 |
Рисунок 4-4 |
Пример 2. Отложить на проекциях прямой m от точки А отрезок АВ, натуральная величина которого равна 50 мм (рисунок 4-4).Можно предложить такой способ решения задачи. Возьмем на указанной прямой произвольную точку С и определим натуральную величину полученного отрезка АС способом прямоугольного треугольника.
Поскольку на гипотенузе треугольника имеем натуральные длины отрезков, отложим здесь от точки А заданную величину 50 мм. Затем проведем прямую параллельно второму катету треугольника до пересечения с проекцией отрезка АС.
Полученная точка будет являться искомой точкой В. Вторую проекцию точки В находим проецируя точку В на вторую проекцию отрезка.