- •краткий курс лекций
- •1.1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •1.2 Основные задачи курса
- •2. СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
- •2.1 Центральное проецирование
- •2.2 Параллельное проецирование
- •2.3 Основные свойства параллельного проецирования
- •2.4 Прямоугольное проецирование
- •3. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ В ТРЕХ ВИДАХ
- •4. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •4.1 Горизонталь
- •4.2 Фронталь
- •4.3 Профильная прямая
- •4.4 Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)
- •4.7 Прямые наибольшего уклона плоскости и определение углов наклона плоскости к плоскостям уровня
- •5. ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6.1 Фронтальная плоскость Ф
- •6.2 Горизонтальная плоскость Г
- •6.3 Профильная плоскость П
- •6.4 Вертикальная плоскость
- •6.5 Наклонная плоскость
- •6.6 Плоскость перпендикулярная профильной плоскости проекций
- •7. ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •8. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •8.1 Взаимное положение точки и прямой
- •8.2 Точка и плоскость, прямая и плоскость
- •9. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
- •10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА И УГЛОВ ЕГО НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ УРОВНЯ.
- •11. УСЛОВИЯ ВИДИМОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
- •12. ЛОМАНЫЕ И КРИВЫЕ ЛИНИИ (ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ). ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
- •13.1 Поверхности вращения
- •13.2 Линейчатые поверхности
- •13.3 Поверхности второго порядка
- •13.4 Винтовые поверхности
- •13.5 Циклические поверхности
- •13.6 Топографические поверхности
- •14. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПОВЕРХНОСТИ, ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
- •14.1 Построение линий на гранных поверхностях
- •14.2 Построение линий на поверхностях вращения
- •АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •15. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •16. ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОСЯМ
- •17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •17.1 Основное предложение аксонометрии
- •17.2 Свойства ортогональной аксонометрической проекции
- •18. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •18.1 Прямоугольная изометрия
- •18.2 Прямоугольная диметрия
- •18.3 Косоугольная фронтальная диметрия
- •19. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК
- •20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ
- •21. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ
- •21.1 Плоскость частного положения
- •21.2 Плоскость общего положения
- •22. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
- •22.1 Прямые профильного положения
- •23. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •2. Пересечение прямой с плоскостью
- •24. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ (МНОГОГРАННОЙ И КРИВОЙ)
- •24.1 Первый тип задач – прямая общего положения и проецирующая поверхность
- •24.2 Второй тип задач –прямая частного положения и поверхность общего положения
- •24.3 Третий тип задач - прямая и поверхность не имеют вырожденных видов
- •25. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
- •25.1 Параллельность плоскостей
- •25.2 Пересечение плоскостей
- •26. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРЫ СЕЧЕНИЯ
- •26.1 Пересечение многогранника проецирующей плоскостью
- •26.2 Пересечение кривой поверхности плоскостью
- •26.2.1 Проецирующая плоскость
- •26.2.2 Заранее известен вид кривой (второй тип задач)
- •26.3. Пересечение поверхности плоскостью общего положения
- •28. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ.
- •28. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •28.1 Первый тип задач - обе поверхности имеют вырожденный вид
- •28.2 Второй тип задач - одна из поверхностей имеет вырожденный вид.
- •29. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •29.2 Третий тип задач - пересечение поверхностей общего положения
- •29.3 Частные случаи пересечения
- •30. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •31. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •32. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
- •32.1 Круговые сечения поверхностей второго порядка
- •МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
- •34. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ
- •34.1 Перпендикулярность прямой и плоскости
- •34.2 Перпендикулярность плоскостей
- •35. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА
- •СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
- •37. ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
- •39. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ
- •40. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЁРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •41. РАЗВЁРТКИ ПИРАМИДЫ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
- •41.1 Развертка поверхности пирамиды
- •41.2 Развертка конической поверхности
- •42. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
25. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Две плоскости в пространстве могут:
•совпадать друг с другом;
•быть параллельными;
•пересекаться.
При совпадении плоскостей любая прямая одной плоскости будет совпадать с какой-либо прямой другой плоскости.
25.1 Параллельность плоскостей
Если две плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, (рисунок 8-9).
Это служит основным признаком для определения параллельности плоскостей, а также для построения двух параллельных плоскостей.
b
Рисунок 8-9 |
Рисунок 8-10 |
Рассмотрим применение этого признака на конкретном приме-
ре.
Пример 1. Построить плоскость, проходящую через т. М и параллельную заданной плоскости Б (а//b), (рисунок 8-10).
Для построения плоскости, параллельной заданной, сначала на плоскости Б построим пересекающиеся прямые, для чего проведем в плоскости Б произвольную прямую m. Затем проведем через т. М прямые с//а и d//m. Пересекающиеся прямые c и d задают искомую плоскость.
25.2 Пересечение плоскостей
Пересекающиеся плоскости имеют одну общую линию - линию пересечения. Для построения ее достаточно определить две точки или одну точку и направление линии пересечения.
Для построения линии пересечения двух плоскостей в общем случае необходимо знать способ построения. Однако некоторые задачи решаются исходя лишь из пространственного представления (путем моделирования).
Все задачи на пересечение плоскостей и поверхности плоскостью можно разделить на три типа.
Первый тип задач - плоскость имеет вырожденный вид.
Пример 1. Построим линию пересечения двух наклонных плоскостей Б и Д (рисунок 8-11).
Поскольку обе плоскости имеют вырожденный вид спереди (они перпендикулярны фронтальной плоскости), то и линия их пересечения тоже будет иметь вырожденный вид, т.к. и она будет перпендикулярна к фронтальной плоскости На виде спереди линия пересечения изображается точкой К, находящейся на пересечении изображений плоскостей Б и Д, а на виде сверху - прямой, параллельной линиям связи.
Пример 2. Построить линию пересечения наклонной Б и вертикальной Д плоскостей (рисунок 8-12).
Каждая из плоскостей имеет вырожденный вид - наклонная пл. Б -на виде спереди; вертикальная пл. Д- на виде сверху. А так как линия пересечения принадлежит каждой из них, то на виде спереди она будет совпадать с изображением наклонной, а на виде сверху - с изображением вертикальной плоскости
(см. свойства плоскостей перпендикулярных плоскостям уровня).
Пример 3. Построить линию пересечения наклонной плоскости Б и плоскости общего положения Д ( АВС), (рисунок 8-13).
|
|
|
Поскольку |
наклонная плоскость на |
|
|
|
виде спереди имеет вырожденный вид, |
|
|
|
|
то линия пересечения плоскостей на |
|
|
|
|
этом виде будет совпадать с изображе- |
|
|
|
|
нием наклонной плоскости (Б=К). |
|
|
|
|
Учитывая |
принадлежность линии |
|
|
|
пересечения К и второй плоскости Д, с |
|
|
|
|
помощью точек 1 и 2 находим ее на виде |
|
|
|
|
сверху. |
|
|
|
|
Видимость |
элементов определяем |
|
|
|
моделируя положение плоскостей в про- |
|
|
|
|
странстве. На виде сверху невидима |
|
|
Рисунок 8-13 |
|
часть 1-С-2 треугольника, т.к. находится |
|
|
|
|
под (ниже) наклонной плоскости Б. |
|
|
|
|
Второй тип задач - задачи, где плоскости не имеют вырожденных видов. Такие задачи можно решить только освоив способ построения линий пересечения, о чем речь пойдет ниже.
Известно, что линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие для обеих поверхностей (или одну точку и направление линии пересечения).
Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей общего положения, надо на этих плоскостях провести две пары конкурирующих линий и найти их точки пересечения, которые и определяют положение точки пересечения (рисунок 8-14).
Рисунок 8-14
Здесь показано построение линии пересечения двух плоскостей Б и Д с помощью двух пар конкурирующих линий l=m и с=d. Если конкурирующие прямые первой пары оказались параллельными (рисунок 8-14б, l=m), то следует взять вторую пару конкурирующих прямых непараллельных первой. В этом случае линия пересечения будет проходить через полученную т. М параллельно конкурирующим прямым l=m первой пары.
Пример 4. Построить линию пересечения плоскостей общего
Рисунок 8-15
положения Б (а//b) и Д (c//d), (рисунок 8-15).
Проведем пару фронтально-конкурирующих прямых t1 =t2. Пусть t1 принадлежит плоскости Б, a t2- плоскости Д. Прямые t1 и t2 пересекаются в т. М (это следует из вида сверху), первой точке линии пересечения плоскостей.
Для построения второй точки линии пересечения -N, проведем вторую пару фронтально-конкурирующих прямых t3=t4 параллельно первой. Полученные точки M и N соединим, это и есть линия пересечения плоскостей k.
О перпендикулярности плоскостей речь пойдет ниже.