- •краткий курс лекций
- •1.1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •1.2 Основные задачи курса
- •2. СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
- •2.1 Центральное проецирование
- •2.2 Параллельное проецирование
- •2.3 Основные свойства параллельного проецирования
- •2.4 Прямоугольное проецирование
- •3. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ В ТРЕХ ВИДАХ
- •4. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •4.1 Горизонталь
- •4.2 Фронталь
- •4.3 Профильная прямая
- •4.4 Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)
- •4.7 Прямые наибольшего уклона плоскости и определение углов наклона плоскости к плоскостям уровня
- •5. ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6.1 Фронтальная плоскость Ф
- •6.2 Горизонтальная плоскость Г
- •6.3 Профильная плоскость П
- •6.4 Вертикальная плоскость
- •6.5 Наклонная плоскость
- •6.6 Плоскость перпендикулярная профильной плоскости проекций
- •7. ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •8. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •8.1 Взаимное положение точки и прямой
- •8.2 Точка и плоскость, прямая и плоскость
- •9. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
- •10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА И УГЛОВ ЕГО НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ УРОВНЯ.
- •11. УСЛОВИЯ ВИДИМОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
- •12. ЛОМАНЫЕ И КРИВЫЕ ЛИНИИ (ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ). ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
- •13.1 Поверхности вращения
- •13.2 Линейчатые поверхности
- •13.3 Поверхности второго порядка
- •13.4 Винтовые поверхности
- •13.5 Циклические поверхности
- •13.6 Топографические поверхности
- •14. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПОВЕРХНОСТИ, ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
- •14.1 Построение линий на гранных поверхностях
- •14.2 Построение линий на поверхностях вращения
- •АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •15. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •16. ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОСЯМ
- •17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •17.1 Основное предложение аксонометрии
- •17.2 Свойства ортогональной аксонометрической проекции
- •18. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •18.1 Прямоугольная изометрия
- •18.2 Прямоугольная диметрия
- •18.3 Косоугольная фронтальная диметрия
- •19. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК
- •20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ
- •21. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ
- •21.1 Плоскость частного положения
- •21.2 Плоскость общего положения
- •22. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
- •22.1 Прямые профильного положения
- •23. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •2. Пересечение прямой с плоскостью
- •24. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ (МНОГОГРАННОЙ И КРИВОЙ)
- •24.1 Первый тип задач – прямая общего положения и проецирующая поверхность
- •24.2 Второй тип задач –прямая частного положения и поверхность общего положения
- •24.3 Третий тип задач - прямая и поверхность не имеют вырожденных видов
- •25. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
- •25.1 Параллельность плоскостей
- •25.2 Пересечение плоскостей
- •26. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРЫ СЕЧЕНИЯ
- •26.1 Пересечение многогранника проецирующей плоскостью
- •26.2 Пересечение кривой поверхности плоскостью
- •26.2.1 Проецирующая плоскость
- •26.2.2 Заранее известен вид кривой (второй тип задач)
- •26.3. Пересечение поверхности плоскостью общего положения
- •28. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ.
- •28. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •28.1 Первый тип задач - обе поверхности имеют вырожденный вид
- •28.2 Второй тип задач - одна из поверхностей имеет вырожденный вид.
- •29. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •29.2 Третий тип задач - пересечение поверхностей общего положения
- •29.3 Частные случаи пересечения
- •30. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •31. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •32. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
- •32.1 Круговые сечения поверхностей второго порядка
- •МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
- •34. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ
- •34.1 Перпендикулярность прямой и плоскости
- •34.2 Перпендикулярность плоскостей
- •35. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА
- •СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
- •37. ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
- •39. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ
- •40. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЁРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •41. РАЗВЁРТКИ ПИРАМИДЫ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
- •41.1 Развертка поверхности пирамиды
- •41.2 Развертка конической поверхности
- •42. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
35.ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ.
36.ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА.
35. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Прямой угол между перпендикулярными прямыми общего положения на комплексном чертеже искажается (свойство ортого-
нальной проекции прямого угла).
Через любую точку пространства можно провести множество прямых, перпендикулярных данной прямой общего положения. Все они будут лежать в плоскости, перпендикулярной этой прямой и только одна из них пересечёт её (рисунок
14-1).
Решение вопроса о перпендикулярности прямых общего положения сводится к перпендикулярности прямой и плоскости. Здесь использу-
ется положение о том, что две прямые перпендикулярны только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.
Пример 10. Определить расстояние от точки А до прямой общего положения l (ри-
сунок 14-2).
Для построения прямой, перпендикулярной данной, надо построить сначала плоскость, проходящую через заданную точку и перпендикулярную данной прямой i.
Эту плоскость задаем горизонталью h и фронталью f, проведенными перпендикулярно прямой l.
Рисунок 14-2
Затем находим точку пересечения прямой с перпендикулярной ей плоскостью.
Соединив точку пересечения К с точкой А, получим перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую l, Определяем его истинную величину.
Пример 11. Определить, перпендикулярны ли прямые m и n
(рисунок 14-3).
|
Сначала построим |
плоскость |
|
Б перпендикулярную прямой n |
|
|
(плоскость задаем пересекающи- |
|
|
мися горизонталью и фронталью). |
|
|
Затем определяем |
относи- |
|
тельное положение прямой т и |
|
|
полученной плоскости Б . |
|
|
Если прямая m принадлежит |
|
|
или параллельна ей, то данные |
|
|
прямые перпендикулярны. |
|
|
В приведенном примере m не |
|
|
||
Рисунок 14-3 |
перпендикулярна n. |
|
|
|
|
36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА
Используя свойства ортогональной проекции прямого угла, можно решать задачи на определение натуральной величины угла между:
|
• |
двумя скрещивающимися |
||
|
прямыми; |
|
|
|
|
• |
двумя пересекающимися |
||
|
прямыми; |
|
|
|
|
• угла наклона прямой к |
|||
|
плоскости; |
|
|
|
|
• угла между двумя пере- |
|||
|
секающимися плоскостями. |
|||
|
|
Пример 12. Опреде- |
||
|
лить натуру |
угла |
между |
|
|
скрещивающимися |
прямы- |
||
Рисунок 14-4 |
ми a и b (рисунок 14-4). |
|||
|
Через |
произвольную |
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
точку А проведем прямые с и d, параллельные прямым а и b. В полученной плоскости проведем горизонталь и построим натуральную величину А-1-2 (способом засечек, предварительно определив натуру каждой его стороны).
Угол при вершине А будет искомым.
Пример 13. Опре-
делить угол наклона прямой n к плоскости Б
( АВС), (рисунок 14-5).
Угол наклона прямой к плоскости можно рассматривать как дополнительный угол до
.90°между данной прямой и нормалью к плоскости (рисунок 18- а, угол β).
Для решения задачи из произвольной точки 3 прямой d строим нормаль n к плоскости Б. Затем определяем угол между двумя
Рисунок 14-5 пересекающимися прямыми d и n, для че-
го через произвольную точку М проводим прямые, параллельные d и n.
Определяем натуру угла между ними; угол дополняющий его до 90° будет искомым.
Пример 14. Определить угол между двумя пересекающимися плоскостями Б (α//b) и Д (с×d) (рисунок 14-6).
Натуральная величина угла между двумя плоскостями измеря- а) ется линейным углом, дополняющим до 180° угол между перпендикулярами, опущенными из произвольной точки А на
данные плоскости (рисунок 14-6а).
α+φ+90˚=360˚; α+φ=180˚; φ=180˚-α.
Плоские углы φ и α равны линейным углам двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями Б и Д.
Алгоритм решения задачи:
1) Вначале находим точку А лежащую на линии пересечения плоскостей (14-6б).
2) Затем восстанавливаем из этой точки перпендикуляры к обеим плоскостям – Б и Д (рисунок 14-6б).
3) Определяем угол между нормалями к плоскостям из 1-2-М, построенного по натуральным величинам его сторон засечками (рисунок 14-6в).
Искомый угол φ=180˚-α(рисунок 14-6г).
г)
Рисунок 14-6