окружности C1 перпендикулярно к её плоскости. Эта прямая пересечёт ось конуса (т.к. они лежат в одной плоскости) в т. 01. Эта точка будет центром сферы, которая пересечёт поверхность конуса по окружности h1. Окружности m1 и h1 пересекаются в точках 1 и 2, которые будут принадлежать линии пересечения.

Для нахождения дополнительных точек нужно взять новую окружность на поверхности тора и все действия повторить.

На виде сверху точки линии пересечения находят при помощи параллелей конуса h .

32. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка являет-

Ася кривой четвёртого порядка (т.е. пересекается с плоскостью в четырёх точ-

Гках). В некоторых частных случаях эта линия пересечения распадается на несколько частей.

Особый интерес представляет случай, когда она распадается на пару кривых второго порядка (плоских). Это происходит, если поверхности имеют двой-

ное прикосновение, т.е. касаются друг друга в двух точках (рисунок 12-5).

для них точке имеют одну и ту же касательную плоскость (Г1 или Г2),

если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в неё), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка (рисунок 12-6).

Это положение известно как теорема Гаспара Монжа.

32.1 Круговые сечения поверхностей второго порядка

Теорема о двойном прикосновении позволяет весьма просто строить круговые сечения тех поверхностей второго порядка, которые их имеют.

Для построения круговых сечений надо провести сферу, имеющую двойное прикосновение с данной поверхностью. В этом случае линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые, а так как эти линии принадлежат сфере, то они будут являться окружностями.

Пример 3. Построить круговые сечения эллиптического цилиндра (рисунок

12-7).

Из произвольной точки оси цилиндра описываем сферу такого радиуса, чтобы она касалась двух образующих цилиндра (см. вид спереди) и пересекала его (см. вид сверху).

Точки А и В будут точками двойного прикосновения, т.к. в них можно провести общие касательные плоскости Г¹ и Г² к цилиндру и сфере.

Линия пересечения сферы с эллиптическим цилиндром будет состоять из

двух плоских кривых - окружностей.

Пример 4. Построить круговые сечения эллиптического конуса

(рисунок 12-8).

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

1.МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОГО УГЛА.

2.ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ.

1.МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ПРЯ-

МОГО УГЛА

Задачи, в которых решаются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной формы плоских фигур и т.п., назы-

ваются метрическими.

При решении этих задач необходимо знать условия перпендикулярности прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. Для выяснения этих условий требуется изучить свойства ортогональной проекции прямого угла.

Здесь могут быть два случая.

1. Если две стороны любого линейного угла (в том числе прямого) параллельны некоторой плоскости проекций, то на эту плоскость он проецируется

Вбез искажения (рисунок 13-1). Если АВ//П' и ВС//П', то АВС= А'В'С', как углы с соответственно параллельными сторонами: АВ//А'В' и BC//B'C'.

2.Если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проек-

ций, а другая не перпендикулярна Рисунок 13-1 ей, то прямой угол на эту плос-

кость проецируется в виде прямо-

го угла (рисунок 13-2). Докажем это. Дано: АВС=90°, .АВ//П', ВС#П'.

Требуется доказать: А'В'С'=90°.

Из условия ортогонального (прямоугольного) проецирования ВВ П', а так как АВ//П', то AВВ'=90°. Отсюда следует, что прямая AB BВ' и ВС, которые лежат в проецирующей плоско-

Рисунок 13-2

сти ВСС'В' и, следовательно, прямая A B BСС'В'.

Но так как АВ//А'В', то и A'B' ВСС'В'. Следовательно, А'В' В'С',

т.е. A'B'С'=90º

Рассмотренные свойства ортогональной проекции прямого угла распространяются как на угол между пересекающимися прямыми, так и на угол между взаимно-перпендикулярными скрещивающимися прямыми.

Для суждения о перпендикулярности скрещивающихся прямых нужно через произвольно взятую точку пространства провести прямые, параллельные скрещивающимся прямым и по углу между этими прямыми делать вывод о взаимном положении данных скрещивающихся прямых.

Итак: две взаимно-перпендикулярные прямые (пересе-

кающиеся или скрещивающиеся) сохраняют свою перпендикулярность на комплексном чертеже только в том случае, если одна из них является линией уровня (горизонталью, фронталью), а другая не перпендикулярна плоскостям проек-

ций (рисунок 13-3).

Рисунок 13-3

Рассмотрим ряд примеров на применение свойств ортогональной проекции прямого угла.

Пример 1.Определить расстояние от точки А до горизонтали h

(рисунок 13-4).

Расстояние от точки до прямой определяется перпендикуляром, опущенным из этой точки на прямую.

Горизонталь является одной из сторон прямого угла и, следовательно, прямой угол с ней будет сохраняться на виде сверху.

Решение начинаем с вида сверху. Построим здесь перпендикуляр к горизонтали, а затем на виде спереди, определяем его ис-

тинную величину (способом прямоугольного треугольника).

Пример 2. Через точку А провести прямую перпендикулярно фронтальной прямой f

(рисунок 13-5).

Прямой угол с фронталью сохраняется на виде спереди, поэтому проводим на этом виде прямую n.

На виде сверху прямая n проводится произвольно, т.к. через точку в пространстве можно провести множество прямых перпендикулярных данной прямой.