6.Методические указания к самостоятельной работе студентов.

6.1.Векторный анализ

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ И ИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Определение 6.1.1. Векторным полем точки М называется векторная функция точки М вместе с областью ее определения.

Задание векторного пространственного поля равносильно заданию трех скалярных функций ,,, являющихся проекциями векторана координатные оси. Примерами векторных полей являются поле магнитной напряженности, поле сил тяготения, поле скоростей установившегося потока жидкостей и т.д.

Определение 6.1.2. Векторной линией поля называется такая линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора. Векторная линия обычно называется линией тока для поля скоростей, силовой линией – для силового поля.

Как известно, направляющие косинусы касательной пропорциональны дифференциалам ,,. Для нахождения векторных линий полявекторови

, (6.1.1)

где - проекция векторана координатные оси.

Уравнения (6.1.1.) называются дифференциальными уравнениями векторных линий поля . Если- непрерывно дифференцируемые функции и в точке М векторотличен от нуля, то через точку М проходит одна определенная векторная линия поля.

Пример 6.1.1. Найти векторные линии поля .

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий имеют вид или,;

, . Интегрируя, получими, гдеи- произвольные постоянные. Векторными линиями являются окружности, расположенные в плоскостях, параллельных плоскостии в самой плоскостипри.

Пример 6.1.2. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.

Решение. Будем считать, что проводник направлен по оси и в этом же направлении течет токI . Вектор напряженности H магнитного поля, создаваемого током, равен

, (6.1.2)

где есть вектор тока,- радиус-вектор точки,- расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (6.2), получим

.

Дифференциальные уравнения векторных линий:

,

откуда

,

т.е. векторные линии являются окружностями с центрами на оси

ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ

Определение 6.1.3. Потоком П векторного поля через

двустороннюю поверхность называется поверхностный интеграл

второго рода.

, (6.1.3)

где - единичный вектор нормали к, указывающей её ориентацию;- элемент площади поверхности;- проекция векторана направление.

Дадим физическое истолкование формулы (6.1.2). Пусть - скорость жидкости, протекающей через произвольную (двустороннюю) поверхность. Рассмотрим разбиениеповерхности наn частей с площадками. Тогда произведениеравно количеству жидкости, протекающей через поверхностьза единицу времени в

направлении вектора .

Интеграл , являющийся

пределом интегральной суммы

, дает полное количество жидкости, протекающей в единицу времени черезв положительном направлении. Пусть- поле скоростей в стационарном течении жидкости, так что ее скоростьв точке М зависит лишь от М, но не зависит от времени. Из сказанного выше следует, что поток скорости через ориентированную поверхностьза единицу времени в том направлении, в котором ориентирована эта поверхность (физический смысл потока).

Вычисление потока

Вычисление методом проектирования на одну

из координатных плоскостей

Пусть поверхность задана уравнением.Единичный вектор нормали, но, как известно,.

Знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор именно к выбранной стороне поверхности.

Если поверхность задана уравнением , то.

Знак «+» соответствует выбору верхней стороны поверхности, нормаль к которой образует острый угол с осью и, следовательно, направляющий косинус положителен.

Известно также, что и.

Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскостьв область, тогда вычисление потока векторного поля через поверхностьсводится к вычислению двойного интеграла

по области :. (6.1.4.)

Аналогично, если поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскостьили, то поток вычисляется по формулам;.

Пример 6.1.3. Найти поток векторного поля через поверхность конусаи плоскость.

Решение. Обозначим потоки векторного поля: через

боковую поверхность конуса и

через плоскость .

Тогда весь поток П=П₁ +П₂ =

.

Вычислим . Уравнение:

.

Проекция вектора на осьотрицательна.

;

.

Из выражения для (6.1.3.) найдем

.

.

Вычислим . Уравнения поверхности:,,(На поверхности),

.

Следовательно, .

Пример 6.1.4. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника с вершинами в точках,,.

Решение. Уравнение плоскости составим как уравнение

плоскости, проходящей через три точки

. Следовательно, ,

.

.

Пример 6. 1.5. Вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону однополостного гиперболоида ,ограниченного плоскостями.

Решение. Данная поверхность проектируется взаимно однозначно на плоскость в область, ограниченную окружностями

и .

Находим внешнюю нормаль :.

Т.к. образует с осьютупой угол, то берем знак минус и, значит,.

Находим скалярное произведение .

Применяя формулу

,

получим рис.6.1.5. .

Переходя к полярным координатам ,, будем иметь

Вычисление потока методом проектирования

на все три координатные плоскости

Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости:

Тогда поток векторного поля равен

где знак перед каждым из двойных интегралом берется соответственно таким, каков знак ,,на поверхности.

Пример 6.1.6. Найти поток векторного поля через треугольник, получаемый при пересечении плоскостис координатными плоскостями (выбор указан на рис. 6.1.6,).

Решение. Найдем .P[x(y,z),y,z]=(1-y-z)-2z=1-y-3z (выразили из уравнения плоскости)

.

По формуле (6.1.3) получим

Рис. 6.1.6

.

При вычислении потока векторного поля через боковую поверхность кругового цилиндра или через сферу удобно пользоваться соответственно цилиндрическими или сферическими координатами.

Пример 6.1.7. Найти поток векторного поля

через часть сферической поверхности , расположенную в первом октанте.

Решение. Найдем вектор- градиент ,

тогда единичный вектор ;.

По условию задачи поверхность находится в первом октанте, т.е. ,, элемент площади в сферических координатах равен. Следовательно, поток через часть сферы вычисляется по формуле.

Вычисление потока методом введения

криволинейных координат на поверхности

В некоторых случаях при вычислении потока векторного поля через данную поверхность S возможно выбрать на самой поверхности простую систему координат, в которой удобно вычислять поток, не применяя проектирования на координатные плоскости.

Рассмотрим частные случаи.

Случай 1). Пусть поверхность S является частью кругового цилиндра , ограниченного поверхностямии.

Полагая , будем иметь для данной поверхности,

, а для элемента площади dS получаем следующее выражение (рис.6. 1.8.):

.

Тогда поток векторного поля a

через внешнюю сторону поверхности S

вычисляется по формуле

, (6.1.5)

где

Рис.6.1.7.

Пример 6. 1.8. Вычислить поток радиуса-вектора

через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченного снизу плоскостью, а сверху – плоскостью.

Решение. В данном случае (рис. 6.1.7) имеем

.

Переходя к координатам на цилиндре

будем

иметь ,

Согласно формуле (6.1.4) поток вектора r

будет равен

Но так как на цилиндре _рис.6.1.8

и, следовательно,

Случай 2). Пусть поверхность S является частью сферы , ограниченной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют види полуплоскостями.

Положим для точек данной сферы

где .

Тогда для элемента площади dS полу- чим (рис. 6.1.8)

.

В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть S сферы вычисляется по формуле

( 6.1.6)

Рис.6.1.9.

где

Пример 6.1.9. Найти поток вектора

через часть поверхности сферы , расположенную в первом октанте, в область, где.

Решение. В данном случае имеем

, ,

Введем на сфере координатыитак, что

Тогда будет иметь

и, применяя формулу (6.1.5), получим

ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ.

ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО

Вычисление дивергенции

Определение 6.1.4. Отношение потока векторного поля через поверхность к величине объеманазывается средней объемной плотностью потока векторного поля.

В поле скоростей жидкости это отношение при определяет среднее количество жидкости, поступающей из единицы объема внутри поверхностиза единицу времени. Приопределяет среднее количество жидкости, поглощаемой единицей объема за единицу времени.

Определение 6. 1.5. Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля называется объемная

плотность потока векторного поля в этой точке:

,

где V-объем, ограниченный замкнутой поверхностью , содержащей точку М.

Если координаты вектора непрерывны вместе со своими частными производными,,, то в декартовой системе координат дивергенция вычисляется по формуле

, (6.1.7)

где частные производные вычислены в точке М.

Пример 6.1.10. Вычислить дивергенцию поля радиус-вектора .

Решение.

.

Следовательно, в каждой точке поля радиус-вектора имеется источник, плотность которого равна трем единицам.

Формула Остроградского в векторной форме

Равенство (6.1.6.) позволяет записать формулу Остроградского в векторной форме. Если учесть, что

(6.1.8.)

является потоком векторного поля, тогда равенство

примет следующий вид:

. (6.1.9.)

Физический смысл формулы Остроградского заключается в том, что, если - вектор скорости жидкости, протекающей через тело,тогда подынтегральное выражение в правой части равенства (6.1.8.) дает полное количество жидкости ,вытекающей из телаили через поверхностьза единицу времени (или втекающей в тело, если интеграл отрицателен) .Если дивергенция равна нулю , то количество жидкости , втекающей внутрь тела , равно количеству жидкости , вытекающей из него .

Формула (6.1.9.) позволяет упростить вычисления потоков через замкнутую поверхность.

Пример 6.1.11. Вычислить поток поля через полную поверхность цилиндра

, .

Решение. Найдем дивергенцию

.

По формуле (6.1.9.)

.

Перейдем к циклическим координатам, тогда .

ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ В ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ.

ЦИРКУЛЯЦИЯ. ПЛОТНОСТЬ ЦИРКУЛЯЦИИ

Определение и вычисление циркуляции

Пусть L-пространственная кусочно-гладкая направленная линия и - непрерывное векторное поле, заданное в, где,,- проекциина координатные оси.

Определение 6.1.6. Криволинейный интеграл вида

,

взятый по некоторой направленной линии L, называется линейным интегралом от вектора вдоль линииL.

Пример 6. 1.12. Вычислить работу силового поля

вдоль отрезка AB прямой, проходящей через точки M₁(2,3,4) и M₂(3,4,5).

Решение. Работа данного силового поля будет равна линейному интегралу вдоль отрезка M₁M₂:

.

Находим канонические уравнения прямой M₁M₂. Имеем

Отсюда

Здесь x изменяется в пределах от 2 до 3 (так как абсцисса точки M₁ равна 2, а абсцисса точки M₂ равна 3). Искомая работа будет равна

.

Определение 6.1.7. Циркуляцией векторного поля по замкнутой линииL в области называется линейный интеграл по этой замкнутой линииL, обозначаемый через Ц и определяемый формулой , где- вектор-дифференциал.

В том случае, когда - силовое поле, линейный интеграл от вектораравен работе сил поля при перемещении тока по линииL(физический смысл циркуляции).

Найдем скалярное произведение векторов и. Векторнаправлен по касательной к кривойL .

.

Тогда циркуляция принимает вид

.

Пример 6.1.13. Найти циркуляцию векторного поля по контуру АВСА, полученному при пересечении параболоидас координатными плоскостями

(рис.6. 1.9.).

Решение. .

1. На АВ: ,;.

Линейный интеграл

.

2. На ВС: ,,

.

3. На СА: ,;.

Таким образом, .

Знак минус указывает на то, что под действием сил поля контур будет вращаться в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке.

Пример 6.1.14. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль линии , получаемой пересечением конусас координатными плоскостями (рис. 6.1.10).

Решение. Линия состоит из двух отрезков ВС и СА, расположенных на координатных плоскостяхисоответственно и

дуги окружности

Рис. 6.1.10.

. Поэтому циркуляция данного векторного поля будет равна

1. На отрезке ВС имеем ,

; ,;

.

Следовательно, .

2. На отрезке СА имеем ,;,;.

Следовательно, .

3. На дуге окружностиимеем, и значит,.

Искомая циркуляция векторного поля равна нулю.

Плотность циркуляции векторного поля

Пусть в векторном поле на поверхностидан замкнутый контурL, заключающий в себе точку М

(рис. 6.1.11.)

- единичный вектор нормали к

поверхности в т. М;

.

Пусть - площадь поверхности,

ограниченной контуром L.

Рис. 6.1.11.

Определение 6.1.8. Плотностью циркуляции в точке М называется предел отношения циркуляции к площади поверхности при условии стягивания контурак точке М.

. (6.1.10)

В проекциях плотность циркуляции выражается в виде .

Если подынтегральное выражение преобразовать по формуле Стокса, то получим

(6.1.11)

Частные производные вычислены в данной точке М.

РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА СТОКСА

В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ

Определение 6.1.9. Ротор (или вихрь) векторного поля точки М обозначается и определяется формулой, (6.1.12)

где частные производные вычислены в точке М.

Для лучшего запоминания этот вектор можно записать в виде следующего символического определителя:

(6.1.13.)

Смысловое определение ротора вытекает из его связи с плотностью циркуляции поля; сравнивая формулы (6.1.10.) и (6.1.11.), можно записать

.

Если значение косинуса равно 1, то из последнего равенство . Таким образом, плотность циркуляции в точке М будет наибольшей в направлении ротора и равна его численному значению. Физический смысл ротора в поле скоростейзаключается в том, что ротор представляет собой мгновенную угловую скорость вращения тела.

Пример 6.1.15. Найти ротор векторного поля .

Решение. Используя формулу (6.1.12), найдем проекции ротора

; ;

.

Следовательно, .

С помощью введенного можно записать формулу Стокса в векторной форме. Так как+,

следовательно, в векторной форме это равенство имеет вид . (6.1.14) Итак, поток векторачерез ориентированную поверхностьравен циркуляции векторавдоль положительного направления обхода контураL этой поверхности.

Пример 6.1.16. Найти циркуляцию векторного поля

по контуру , где,

(рис. 6.1.12.)

Решение. Найдем , используя символическую запись (6.1.13)

.

В качестве поверхности , натянутой на контур, возьмем круг (в плоскости), тогда,. По формуле (6.1.14) найдем циркуляцию, вычислив двойной интеграл в полярных координатах:

;

Пример 6.1.17. Вычислить циркуляцию векторного поля :по контуру.

Решение. Вычислим, применив формулу Стокса (6.1.13). Найдем

.

В качестве поверхности берем часть плоскости, ограниченную контуром.

При пересечении цилиндра и плоскостиполучится эллипс. Поверхность(эллипс) проектируется на плоскостьв круг. Тогда,(из уравнения плоскости).

;

.