- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •1. Цели и задачи дисциплины
- •2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
- •3.Трудоемкость дисциплины по видам занятий
- •4. Содержание дисциплины
- •4.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах)
- •4.2. Содержание разделов
- •I семестр
- •Раздел 1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Введение в математический анализ: функция, теория пределов,
- •Раздел3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Раздел 4. Функции нескольких переменных
- •II семестр Раздел 5 Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры
- •Раздел6. Неопределенный интеграл
- •Раздел7. Определенный интеграл
- •Раздел8. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
- •III семестр
- •Раздел 9. Элементы теории поля
- •Раздел 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •5. Перечень практических занятий
- •I семестр
- •II семестр
- •III семестр
- •IV семестр
- •5 Самостоятельная работа студентов (срс)
- •5.3 Примерный перечень тем курсовых проектов (работ).
- •5.4 Примерный перечень тем рефератов.
- •5.5 Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоятельной работы студентов:умк дисциплины «Математика»).
- •6.Методические указания к самостоятельной работе студентов.
- •6.1.Векторный анализ
- •6.2.Числовые ряды Основные понятия
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Остаток ряда
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Положительные ряды
- •I. Признаки сравнения рядов
- •II. Признак Даламбера (в предельной форме)
- •III. Признак Коши (в предельной форме)
- •IV. Интегральный признак Коши
- •Знакопеременные ряды
- •Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Понятие функционального ряда и его области сходимости
- •Мажорируемость функционального ряда
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Степенные ряды
- •Область сходимости степенного ряда
- •Нахождение интервала и радиуса сходимости ряда
- •Условия разложения функции в ряд Тейлора
- •Разложение в ряд маклорена некоторых элементарных функций
- •I Разложение функции
- •II Разложение функции
- •III Разложение функции
- •IV Разложение функции
- •V Разложение функции
- •6.3.Комплексные числа
- •Используя правило возведения в степень, получим
- •6.4.Дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Уравнения Лагранжа и Клеро
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Системы дифференциальных уравнений
- •6.5.Теория вероятности
- •Оценим значение
- •6.6. Математическая статистика Вариационные ряды
- •Основные формулы
- •Выборочный метод. Общие вопросы.
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Оценка генеральной доли признака
- •Элементы проверки статических гипотез
- •Элементы корреляционного анализа Линейная корреляция
- •Основные формулы
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Статистическая гипотеза. Понятие о критериях согласия. Критерий 2 Пирсона.
- •7.Контрольные работы
- •7.1 Контрольная работа №5 Векторный анализ
- •Числовые ряды
- •Комплексные переменные
- •Дифференциальные уравнения
- •7.2Котрольная работа №6
- •7.3 Контрольная работа №7
- •7.4 Контрольная работа №8
- •Математическая статистика
- •8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •9.Карта обеспеченности студентов учебниками, учебными пособиями, учебно-методическими материалами по дисциплине "Математика".
- •10. Перечень контрольных вопросов
- •Семестр II
- •Семестр III
- •Семестр IV
Условия разложения функции в ряд Тейлора
Вид коэффициентов ряда Тейлора указывает на то, что ставить задачу о разложении в ряд Тейлора можно лишь по отношениюк бесконечно дифференцируемой в точке х0 функции; но это есть только необходимое условие разложения в ряд Тейлора:далеко не всякая бесконечно дифференцируемая функция может быть представлена своим рядом Тейлора.
Может оказаться, что составленный по ряд Тейлора: 1) хотя и сходится в некотором интервале. Но его сумма не совпадает с, кроме как в т. х=х0; или 2) он даже вообще может оказаться расходящимся для хх0.
Другими словами, остается пока открытым вопрос: 1) сходится ил ряд где-нибудь, кроме точки х=х0 ; 2) возникает также и второй вопрос: если ряд сходится в некотором интервале, то какая функция является суммой этого ряда
Та функция , с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда, или какая-либо другая функция (см. Увар., стр. 77; Бермант, стр. 591). Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки х0.
Найдем значения функции и ее производных в т. х0 в составим для ряд Тейлора.
Выясним, при каких условиях можно утверждать, что составленный ряд сходится к
Т. к. поведение ряда (сходимость или расходимость) зависит от коэффициентов ряда, а коэффициенты определяются функцией , то, очевидно, вопрос о сходимости ряда Тейлора надо изучать с помощью свойств самой функцииТ. к. функцияимеет в окрестности т. х0 производные любых порядков, то для всех значений х из этого интервала и для любого n имеет место формула Тейлора (выводится в дифференциальном исчислении).
(6.2.10)
где – остаточный член этой формулы.
С помощью этой формулы можно дать ответ на поставленный выше вопрос.
Теорема 6.2.18. (необходимое и достаточное условие). Для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к ней, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора для стремился к нулю при
Теорема 6.2.19.(достаточный признак). Если в некотором интервале, содержащем т. х0, модули всех производных функции ограничены одним и тем же числом: , то функцияв этом интервале разлагается в ряд Тейлора.
Разложение в ряд маклорена некоторых элементарных функций
I Разложение функции
Эта функция имеет производных всех порядков при любом х: (n=1,2,3,…)
Проверим выполнение условий теоремы 2:
если взять любой промежуток , то в нем верна оценка
(т. е. для всех значений х модули всех производных ограничены одним и тем же числом ).
Поэтому по теореме 2 функция разлагается в сходящийся к ней ряд Маклорена в любом промежутке, т. е. иначе говоря, при всех х (всюду).
Найдем коэффициенты ряда:
таким образом, при любых х верно разложение:
Пример 6.2.31. Разложить в ряд Маклорена функцию ; указать интервал сходимости
Решение,
II Разложение функции
Она имеет производные всех порядков:
Очевидно, условия теоремы 2 выполняются: при всех х и n производная функции по модулюне превосходит единицы.
Следовательно, разлагается в ряд Маклорена и разложение справедливо при всех х.
Найдем коэффициенты ряда:
Таким образом, при любых х верно разложение:
(*) ,
В ряде присутствуют только нечетные степени х; это естественно, т. к. - нечетная функция.
Можно считать равенство (*) определением функции , т. к. радиус сходимости ряда равен бесконечности, и, следовательно, сумма ряда определена и непрерывна на всей числовой оси. Эту сумму и можно по определению считать функциейтакое определение не связано с геометрическим построением, с которыми эта функция так тесно связана в школьном курсе математики.