23. Свойства непрерывных функций

♦ 1. При сложении, вычитании, умножении, делении непрерывных функций получается непрерывная функция.

(При делении нужно, естественно, следить, чтобы знаменатель ).

♦ 2. Сложная функция, состоящая из непрерывных функций, тоже непрерывна.

Из этих свойств и утверждения (22.1) вытекает, что

каждая элементарная функция непрерывна в своей области определения.

♦ 3. Если функция непрерывна и возрастает (убывает), то обратная к ней функция тоже непрерывна и возрастает (убывает).

♦ 4. Всякая непрерывная в замкнутом интервале функция

а) имеет наименьшее и наибольшее значения,

б) принимает все промежуточные значения.

24. Метод половинного деления

Пусть точка располагается ниже оси а точка выше оси (рис. 24.1). Когда вы будете соединять с какой-нибудь линией, вы обязательно пересе - чёте ось Поэтому если известно уравнение этой линии, можно найти его ко - рень точку пересечения с осью

Пусть линия есть график функции на участке (рис. 24.1) .

Как найти, хотя бы приближённо, координату точки пересечения?

Вы находите среднюю точку по формуле . Искомая точка оказыва ется между и поэтому вы находите следующую среднюю точку по формуле Точка будет ближе к , чем точка .. Искомая точка оказывается Рис. 24.1

между и поэтому вы находите следующую среднюю точку по формуле И так далее.

Так как то число есть корень уравнения

З а д а ч а 1. Найдите корень уравнения применив метод половинного деления.

□ 1) Поверим, лежит ли корень в интервале

Для этого обозначим через левую часть уравнения:

Тогда на концах интервала будем иметь Получились числа с разными знаками; это значит, что корень уравнения находится в данном интервале.

2) Возьмём среднюю точку Тогда отрицательное число.

Так как то корень находится между точками 4 и 8.

3) Возьмём среднюю точку Тогда положительное число. Так как то корень находится между точками 4 и 6.

4) Возьмём среднюю точку Тогда

Следовательно, значение есть корень нашего уравнения. ■

25. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом называются следующие функции

(25.1)

(25.2)

Графики этих функций показаны на рис. 25.1 – 25.4.

Рис. 25.1 Рис. 25.2

Рис. 25.3 Рис. 25.4

С помощью определений (25.1), (25.2) нетрудно доказать равенства

26. Понятие производной

Пусть имеется непрерывная функция

Над ней вы можете выполнить следующие действия:

► построить её график (рис. 26.1);

► на оси точкой изобразить величину и дать её бесконечно малое прира -щение (т. е. от точки отложить бесконечно малый отрезок ).

Тогда величина получит приращение

.

► вычислить дробь (отношение) которая может оказаться новой функцией,

обозначаемой или или .

Производной от функции называется новая функция определяемая по формуле

Отыскание производной от функции называется

дифференцированием функции.

Дифференцировать = искать производную. Рис. 26.1

Дадим ещё одно определение:

Если функция конечна,

то функция называется дифференцируемой.

Если же производная не существует или бесконечна, то функцию называют недифференцируемой.

Производную от функции обозначают также

27. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Покажем, что

Если функция дифференцируема,

то эта функция непрерывна.

♥ Дано: дифференцируемая функция.

Это значит, что величина есть конечная функция.

Это равенство перепишем так: .

Но мало, поэтому и будет мало.

Выполнение соотношений и

означает, что функция непрерывна. ■

Обратное утверждение не всегда верно: если функция непрерывна, то функция может и не быть дифференцируемой.

28. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Функции, с которыми будем иметь дело, будем считать дифференцируемыми.

1. Докажем, что производная константы равна нулю.

♥ Возьмём функцию Нужно доказать, что

■

Пример:

2. Докажем, что

♥ Возьмём функцию Нужно доказать, что

■

3. Докажем, что производная суммы равна сумме производных.

♥ Возьмём функцию

Тогда

■

Пример:

4. Докажем, что формула производной произведения.

♥ Возьмём функцию

Тогда

отсюда

■

Пример:

С л е д с т в и е 1. постоянный множитель можно переносить за знак производной:

Пример:

С л е д с т в и е 2. формула производной разности:

5. Докажем, что формула производной дроби.

♥ Возьмём функцию (а)

Тогда

■

Пример:

6. Докажем, что формула производной сложной функции.

♥ Дано

Тогда или ■

Пример:

7. Докажем, что если имеется неявная функция , то

Эта формула позволяет находить .

♥ Дано

Это значит, что при любом

поэтому ■

Соберём в таблицу основные правила дифференцирования.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7. Если дана неявная функция , то можно найти из уравнения

29. ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ

Докажем справедливость следующих формул.

1. Производная степенной функции определяется по формуле

(29.1)

♥ Дано

Тогда

отсюда

■

З а д а ч а 1. Найти

□ ■

З а д а ч а 2. Найти

□ ■

2. Производная показательной функции определяется по формуле

(29.2)

♥ Дано

Тогда

отсюда ■

З а д а ч а 3. Найти

□ ■

Следствие.

отсюда

З а д а ч а 4. Найти

□ ■

3. Производная логарифмической функции определяется по формуле

(29.3)

♥ Дано

Тогда (а)

(а) ■

З а д а ч а 5. Найти

□ ■

С л е д с т в и е.

■

4. Производные тригонометрических функций определяются по формулам

♥ Дано

Тогда

отсюда получилась первая формула.

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Для второй формулы получаем отсюда

Для третьей формулы получаем

Для четвёртой формулы получаем аналогично

■

5. Производные обратных тригонометрических функций определяются по формулам

♥ Дано

Тогда (а)

(б)

но (а) (б)

поэтому

Для второй формулы получаем

Докажем третью формулу. Дано

Тогда (в)

но (в) поэтому

Для вывода четвёртой формулы воспользуемся равенством

тогда ■

6. Производные гиперболических функций определяются по формулам

♥

■

30. ТАБЛИЦА ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Здесь приводится список формул, в котором произвольная дифференцируе -мая функция, независимая переменная, константа.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

По этим формулам вы можете находить производную функции любой сложности.

З а д а ч а 1. Найти производную функции

□ ■

Итак, для нахождения производной приходится применять правила дифференци - рования и таблицу формул дифференцирования. Поэтому можно дать такое оп -ределение производной:

Производной от функции называется новая функция, полученная применени - ем таблицы формул дифференцирования и правил дифференцирования.