- •Дифференциальное исчисление
- •1. Базовые понятия Слова мы пишем буквами, а числа – цифрами (рис. 1.1).
- •2. Изображение чисел
- •3. Понятие функции
- •Или просто
- •4. Изображение функции
- •5. Прямо пропорциональная зависимость
- •8. Обратная функция
- •9. Функция, заданная параметрическими уравнениями
- •14. Бесконечно малые и бесконечно большие переменные
- •15. Основные правила обращения с пределами
- •16. Раскрытие неопределённостей
- •17. Эквивалентные переменные
- •18. Первая замечательная эквивалентность
- •19. Экспонента и натуральный логарифм
- •20. Вторая замечательная эквивалентность
- •21. Сводка формул для раскрытия неопределённостей
- •22. Непрерывная функция
- •23. Свойства непрерывных функций
- •24. Метод половинного деления
- •26. Понятие производной
- •31. Механический смысл производной
- •32. Дифференциал
- •33. Геометрический смысл производной
- •37. Дифференциалы высших порядков
- •38. Механический смысл второй производной
- •39. Правило лопиталя
- •40. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум
- •43. Асимптоты
- •45. Понятие функции двух переменных
- •46. Изображение функции двух переменных
- •47. Частные производные и дифференциал функции
- •51. Экстремум функции двух переменных
- •Содержание
- •1. Базовые понятия……………………………………………………………………………1
8. Обратная функция
Если функция задана уравнением ,
|
то обратная к ней функция определяется уравнением .
|
Следовактельно, чтобы написать обратную функцию, нужно заменить на а на
З а д а ч а 1.. Неявная функция задана уравнением . Найдите обратную функцию. Нарисуйте их графики.
□ Уравнение задаёт в неявном виде функцию
изображённую графиком на рис. 8.1,
а уравнение задаёт в неявном виде обратную
функцию (она изображена графиком ). ■
Ввиду того, что у взаимно обратных функций
переменные и меняются ролями,
графики взаимно обратных функций симметричны
относительно прямой Рис. 8.1
9. Функция, заданная параметрическими уравнениями
Иногда бывает так, что обе переменные и зависят от одной и той же пере -менной В этом случае их общая переменная подобно посреднику, осущест - вляет связь между и Так как переменные и оказываются связанными друг с другом, то можно считать функцией от (или наоборот).
Если имеется система двух уравнений
|
то говорят, что функция задана параметрическими уравнениями, или что функция задана параметрически.
|
В данной системе уравнений величина называется переменным параметром.
Иногда возможно найти непосредственную связь между и исключив
Пусть функция задана уравнениями Найдём прямую связь между и Из первого уравнения находим Подставив это значение во второе уравнение, получим прямая (явная) зависимость от
10. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
К простейшим функциям относятся пять видов функций.
-
Степенная функция .
2) Показательная функция .
3) Логарифмическая функция .
4) Тригонометрические функции .
5) Обратные тригонометрические функции
.
Всякая функция, построенная из простейших функций и конечного числа арифме - тических действий (+, –, ·, :) называется элементарной.
Пример элементарной функции: .
Если основание и показатель степени являются переменными величинами, то это показательно-степенная функция. Поэтому она имеет вид где , - переменные величины.
Особо выделим три вида элементарных функций: многочлены, рациональные и иррациональные функции.
Многочленом (полиномом) относительно переменной называется выражение вида
,
в котором натуральные числа, а остальные числа называ –ются коэффициентами.
Например: многочлен 3-й степени,
многочлен 2-й степени (квадратичная функция),
многочлен 1-й степени (линейная функция).
Рассмотрим выражение
.
Если все показатели степеней – целые числа, то данное выражение называется рациональной функцией. Если же не все показатели – целые числа, то это - иррациональная функция.
Например, выражение является рациональной функцией (ведь все показатели
5, 4, 1, 2 – целые числа). А выражения , являются иррациональны - ми функциями (потому что в них переменная имеет нецелый показатель степени).
11. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
Займёмся самой простой функцией – линейной функцией.
Функция называется линейной.
|
(11.1)
График линейной функции – прямая линия (рис. 11.1). Число называется угло - вым коэффициентом прямой линии, поэтому выражение (11.1) называют уравнением прямой линии с угловым коэффициентом.
На прямой возьмём две точки и опустим перпендикуляры на координатные оси.
Получится прямоугольный треугольник с катетами и Величина
называется приращением переменной
Величина
называется приращением функции На рис. 11.1 вы видите, что
Применим формулу (11.1) чтобы найти Рис. 11.1
т. е. отсюда
|
Формула вычисления углового коэффициента
|
(11.1)
Число зависящее от угла задаёт направление прямой линии.
Уравнение прямой линии можно записать и так
(11.2)
Это общий вид уравнения прямой линии. При это уравнение принимает вид (11.1).
Если то из (11.2) получим Отсюда Значит, все точки этой прямой имеют одну и ту же ординату (высоту) поэтому прямая параллельна оси (рис. 11.2). В частности, прямая совпадает с осью
Рис. 11.2 Рис. 11.3
Если то из (11.2) получим Отсюда Значит, все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу поэтому прямая параллельна оси (рис. 11.3). В частности, прямая совпадает с осью
Рассмотрим простые задачи на прямую линию.
!. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку
□ Так как искомая прямая
(а)
проходит через точку то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой:
(б)
Вычитая из (а) равенство (б), получаем ответ:
|
Уравнение прямой линии, проходящей через точку
|
(11.3)
В этом уравнении коэффициенты и остаются неизвестными.
Пусть Поделив обе части равенства (11.3) на , получим
Обозначив через будем иметь Итак,
|
Уравнение прямой линии, проходящей через точку
|
(11.4)
2. Составить уравнение прямой линии, проходящей через две точки и
□ Искомая прямая проходит через точку поэтому согласно (11.3) имеем Эта прямая должна проходить через точку поэ - тому Запишем эти равенства так:
Поделив первое равенство на второе, получим ответ:
|
Уравнение прямой линии, проходящей через две точки и
|
З а д а ч а 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и
□ Применяем последнюю формулу: отсюда
■
3. Найти угол между прямыми и
□ Из (11.1) следует, что
На рис. 11.2 видим, что поэтому
■
Итак,
Угол между прямыми и можно найти по формуле
|
|
4. Если
то прямые параллельны. Рис. 11.2
Если
то прямые перпендикулярны.
12. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Функция называется квадратичной.
|
Её график – парабола. Преобразование квадратичной функции к виду
называется выделением полного квадрата. Точка есть вершина параболы.
З а д а ч а 1. Выделить полный квадрат у квадратичной функции
□ . ■
Точка - вершина этой параболы.
13. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Условимся стрелкой заменять слова «стремится к».
Тогда запись будет означать, что расстояние между
переменной точкой и постоянной точкой становится
как угодно малым (рис. 13.1). Рис. 13.1
Теперь возьмём какую-нибудь функцию . Нарисуем её график (рис. 13.2)
Если при происходит
|
то называют пределом функции и пишут
|
Таким образом, можно пользоваться двумя
равносильными записями:
Рис. 13.2
При происходит
|
|
З а д а ч а 1. Найти ٱ
Равенство означает, что при происходит ■
И вообще,
|
З а д а ч а 2. . Найти .
□ == ■