- •Дифференциальное исчисление
- •1. Базовые понятия Слова мы пишем буквами, а числа – цифрами (рис. 1.1).
- •2. Изображение чисел
- •3. Понятие функции
- •Или просто
- •4. Изображение функции
- •5. Прямо пропорциональная зависимость
- •8. Обратная функция
- •9. Функция, заданная параметрическими уравнениями
- •14. Бесконечно малые и бесконечно большие переменные
- •15. Основные правила обращения с пределами
- •16. Раскрытие неопределённостей
- •17. Эквивалентные переменные
- •18. Первая замечательная эквивалентность
- •19. Экспонента и натуральный логарифм
- •20. Вторая замечательная эквивалентность
- •21. Сводка формул для раскрытия неопределённостей
- •22. Непрерывная функция
- •23. Свойства непрерывных функций
- •24. Метод половинного деления
- •26. Понятие производной
- •31. Механический смысл производной
- •32. Дифференциал
- •33. Геометрический смысл производной
- •37. Дифференциалы высших порядков
- •38. Механический смысл второй производной
- •39. Правило лопиталя
- •40. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум
- •43. Асимптоты
- •45. Понятие функции двух переменных
- •46. Изображение функции двух переменных
- •47. Частные производные и дифференциал функции
- •51. Экстремум функции двух переменных
- •Содержание
- •1. Базовые понятия……………………………………………………………………………1
16. Раскрытие неопределённостей
Пусть вам нужно найти предел
Если ищется предел в котором |
, или , или , или , или , или , или
|
то называется неопределённостью соответствующего вида, а вычисление предела называется раскрытием неопределённости.
|
Посмотрите, как раскрываются некоторые неопределённости.
З а д а ч а 1. Найти
ٱ ■
З а д а ч а 2. Найти
□ ■
З а д а ч а 3. Найти
□ ■
З а д а ч а 4. Найти
□
■
З а д а ч а 5. Найти
□
■
Полезной может оказаться следующая формула
|
Здесь в числителе и знаменателе оставляются члены с наибольшими степенями.
♥ Докажем эту формулу.
■
З а д а ч а 6. Найти
□ ■
17. Эквивалентные переменные
Эквивалентные переменные часто бывают полезными при раскрытии неопреде - лённости.
Если
|
то говорят, что переменная эквивалентна переменной при
|
и пишут при .
|
Здесь символ ~ есть знак эквивалентности.
Докажем утверждение.
Если
|
то
|
(18.1)
(17.1)
♥ Дано (а)
Тогда
Выполнение равенства означает, что ■
Так как , то, согласно (17.1), получаем эквивалентность
|
(17.2)
( В следующем пункте будет доказана более точная эквивалентность).
Примем без доказательства, что
Если |
то |
18. Первая замечательная эквивалентность
Первой замечательной эквивалентностью называется следующее выражение
|
(18.1)
♥ Посмотрите на рис. 18.1. Вблизи точки графики функций и сливаются, поэтому можно написать при Эти соотношения равносильны выражению (18.1). ■
Формула (18.1) означает, что
Рис. 18.1
Эту формулу называют первым замечательным пределом.
З а д а ч а 1. Найдите
□ ■
Из основной формулы (18.1) получаются следующие полезные формулы
♥ Согласно (18.1) отсюда
- получилась первая формула.
Далее, (18.1), (17.2) - вторая формула.
Из сразу вытекает - третья формула.
Наконец,
- четвёртая формула. ■