- •Криволинейные интегралы
- •§ 1. Криволинейный интеграл первого рода.
- •§ 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
- •§ 3. Криволинейный интеграл второго рода.
- •Cвойства криволинейного интеграла.
- •§ 4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •§ 5. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл.
- •6. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы
- •§ 1. Поверхностные интегралы первого рода.
- •§ 2. Поверхностные интегралы второго рода
- •§ 3. Вычисление поверхностного интеграла.
- •Элементы векторного поля
- •§ 1. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.
- •§ 2. Градиент
- •§ 3. Векторное поле. Поток векторного поля.
- •§ 4. Формула Остроградского.
- •§ 5. Дивергенция.
- •§ 6. Формула Стокса.
- •§ 7. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •§ 8. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка.
- •§ 9. Простейшие векторные поля.
Криволинейные интегралы
§ 1. Криволинейный интеграл первого рода.
В трехмерном измерении (т.е. пространство) задана кривая L с концами в т. А и В. Во всех ее точках задана функция ƒ(x, y, z). Разобьем кривую L на n частей точками Ао = А, А1, А2, …, Аn = В.
Пусть - длина дуги Ак-1Ак. На каждой дуге Ак-1Ак берем по точке ( ) и составим сумму вида
Ее предел при max ∆Sк→0 называют криволинейным интегралом первого рода и обозначают так
Если в частности кривая L лежит в плоскости xoy, то функция ƒ(x, y) зависит от двух переменных и криволинейный интеграл первого рода имеет вид
§ 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла.
1) Рассмотрим
Пусть кривая L задана параметрически
x = x(t)
y = y(t) α ≤ t ≤ β
дифференциал
Тогда
в правой части равенства определенный интеграл.
Если кривая L задана явно уравнением у = у(x), a ≤ x ≤ b,
то
Пример 1. Вычислить , если
от т. А(1; ) до т.В (2; 2)
Пример 2: Вычислить
где
2) Если кривая L пространственная и задана параметрически
α ≤ t ≤ β
то
Пример 3 Вычислить
где L:
§ 3. Криволинейный интеграл второго рода.
Пусть т. Р(x,y) движется вдоль некоторой плоской линии L от точки М к точке N. К точке Р приложена сила , которая меняется по величине и направлению при перемещении т. Р вдоль кривой L, т.е. представляет
собой функцию координат точки Р.
Вычислим работу А силы при перемещении т. Р из положения М в положение N. Для этого разобьем кривую MN на n частей точками
М0 = М, М1, М2, …, Мn = N
О бозначим вектор , величину силы в т.Мi через
Тогда - работа силы вдоль дуги
Пусть ,
где P(x, y), Q(x, y) – проекции вектора на оси ox, oy,
а
– скалярное произведение двух векторов.
Следовательно
Работа А силы на всей кривой MN будет
Существует предел правой части при
Этот предел называют криволинейным интегралом второго рода и обозначают
или
(М) – читаем т. М, (N) – точка N.
Если кривая L пространственная, то
)