9562
.pdf
ются и внутренние силы, но лишь до определённого предела, при превышении которого на-
ступает разрушение. Это предельное значение внутренних сил зависит от физико-
механических свойств материала данного тела.
Из введённого понятия внутренних сил следует, что внутренние силы определяются через внешние и что их величина ограничена свойствами материала тела. Таким образом, для расчёта на прочность необходимо иметь возможность определять внутренние силы по задан-
ным внешним силам.
Поскольку внутренние силы можно рассматривать как реакции внутренних связей тела,
то для их определения можно использовать законы теоретической механики и в частности ак-
сиому связей, которая гласит: равновесие тела сохраниться, если действие связей заменить их реакциями. Отсюда вытекает метод определения внутренних сил, который называется мето-
дом сечений. Рассмотрим суть этого метода.
Пусть некоторое тело, находится в равновесии под действием заданных внешних сил
(рис. 4а). Напоминаем, что в число внешних сил F1, F7 входят как заданные активные силы,
так и реакции связей, закрепляющих тело в пространстве.
Разрежем мысленно тело на две части некоторой произвольной плоскостью. Одну из частей (например, II) мысленно удаляем (отбрасываем) и рассматриваем оставленную часть I (рис. 4б). В каждой точке полученного сечения (разреза) необходимо приложить силы, кото-
рые для целого тела есть внутренние силы и которые являются силами взаимодействия между частями I и II тела. Закон распределения этих сил по сечению неизвестен, но, как любую сис-
тему сил, их можно заменить главным вектором R и главным моментом М (рис. 4в). Показан-
ные в сечении силы заменяют действие отброшенной части II на оставленную часть I и явля-
ются для части I внешними силами.
Таким образом, применяя метод сечений, переводят силы, являющиеся внутренними для тела в целом, во внешние для одной из его частей.
Внешние силы F1, F2, F3, действующие на рассматриваемую часть I, и силы в сечении (рис. 4б,в) должны находиться в равновесии. Поэтому, составляя к отсечённой части тела (рис. 4в)
уравнения равновесия, можно выразить искомые внутренние силовые факторы R и М через заданные внешние силы (нагрузку).
Мы рассмотрели равновесие части I тела. Принципиально совершенно безразлично, ка-
кую из частей тела (I или II) отбросить, так как из третьего закона Ньютона следует, что силы,
действующие от части II на часть I, равны по модулю и противоположны по направлению си-
лам действия части I на часть II. Практически удобно оставлять ту часть, к которой приложено меньше сил, так как уравнения для неё будут иметь более простой вид.
Внутренние силы в поперечном сечении бруса.
Рассмотрим определение внутренних сил в поперечном сечении бруса. Для этого сформулируем основные положения метода сечений:
1.разрезаем брус в интересующем месте плоскостью, перпендикулярной к оси бруса, на две части;
2.отбрасываем мысленно одну из образовавшихся частей (обычно ту, к которой прило-
жено больше сил), в результате чего нарушается равновесие оставшейся части;
3.заменяем действие отброшенной части на оставшуюся часть бруса внутренними сила-
ми;
4.составляем уравнения равновесия всех сил, приложенных к оставшейся части, из кото-
рых находим значения искомых внутренних сил через заданные внешние силы.
Систему координат для бруса выбираем следующим образом:
∙ось z – продольная ось бруса, проходящая через центры тяжести поперечных се-
чений его;
∙оси х и у – главные, центральные оси инерции поперечного сечения бруса, в ча-
стности, это оси симметрии.
Пусть задан прямой брус, находящийся в равновесии под действием произвольной сис-
темы внешних сил (рис. 5а). Рассечём его на две части некоторой произвольной плоскостью,
перпендикулярной к продольной оси z.
Одну из двух частей, например, правую отбрасываем, а в поперечном сечении оставшейся ле-
вой части прикладываем внутренние силы, которые заменяем статически эквивалентной сис-
темой сил – главным вектором R и главным моментом М, приведённым к центру тяжести се-
чения (рис. 5б).
Каждый из этих двух векторов раскладываем на составляющие по осям координат (рис.
6):
Qx, Qy, N - проекции главного вектора внутренних сил R на оси x, y, z.
Mx, My, Mz - проекции главного момента внутренних сил М на оси x, y, z.
R = 
(N2 +Q2x +Q2y )
M = 
(M2x +M2y +M2z )
Полученные компоненты главного вектора и главного момента называются внутренними си-
ловыми факторами или усилиями.
Указанные шесть внутренних силовых факторов имеют следующие наименования: N –
продольная или нормальная сила,
Qx, Qy – поперечные силы в направлении соответствующих осей,
Mx, My – изгибающие моменты относительно соответствующих осей, Mz - крутящий момент.
Для определения каждого внутреннего силового фактора надо составить соответст-
вующее уравнение равновесия для всех сил, действующих на оставленную часть бруса (рис.
6). Как известно, для пространственной системы сил таких уравнений может быть составлено
шесть и в каждое из них войдёт лишь один внутренний силовой фактор, который и будет оп-
ределён из этого уравнения.
Σ x = 0: |
Qx + Σ Fix = 0, Qx = - Σ Fix . |
|
Σ y = 0: |
Qy + Σ Fiy = 0, Qy = - Σ Fiy . |
|
Σ z = 0: |
N + Σ Fiz = 0, N = - Σ Fiz . |
|
Σ mx = 0: |
Mx + Σ mx(Fi) = 0, |
.Mx = - Σ mx(Fi). |
Σ my = 0: |
My + Σ my(Fi) = 0, |
.My = - Σ my(Fi). |
Σ mz = 0: |
Mz + Σ mz(Fi) = 0, |
Mz = - Σ mz(Fi). |
На основании полученных уравнений можно сформулировать правила для определения |
||
внутренних сил в поперечном сечении бруса. |
|
|
Продольная сила N в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраиче- |
||
ской сумме проекций на продольную ось бруса z всех внешних сил, приложенных по одну |
||
сторону от рассматриваемого сечения. |
|
|
Поперечные силы Qx и Qy в произвольном поперечном сечении бруса численно равны ал- |
||
гебраической сумме проекций на оси поперечного сечения бруса х и у всех внешних сил, при- |
||
ложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. |
|
|
Изгибающие моменты Мx и Мy в произвольном поперечном сечении бруса численно равны |
||
алгебраической сумме моментов относительно осей поперечного сечения бруса х и у |
всех |
|
внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. |
|
|
Крутящий момент Мz в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраи- |
||
ческой сумме моментов относительно продольной оси бруса z всех внешних сил, приложен- |
||
ных по одну сторону от рассматриваемого сечения. |
|
|
Правило знаков внутренних сил на плоскости y0z: |
|
|
Усилие N > 0, если вызывает растяжение в поперечном сечении стержня (направлено |
||
«от сечения» и в левой и в правой его частях). |
|
|
Усилие > 0, если (совместно с внешней нагрузкой) стремится повернуть отсечен- |
||
ную часть стержня по часовой стрелке. |
|
|
Усилие > 0, если вызывает растяжение в нижних волокнах стержня. |
|
|
Усилие Мz > 0, если действует против часовой стрелки при взгляде на сечение со сто- |
||
роны внешней нормали. |
|
|
Напряжения. Связь между напряжениями и внутренними силами в поперечном сечении |
||
бруса. |
|
|
Внутренние силы, как уже указывалось, распределены по сечению тела (в частности, |
||
бруса) сплошным образом, при этом в общем случае их значение и направление в отдельных |
||
точках сечения различны. Для суждения об интенсивности внутренних сил в определённой |
||
точке данного сечения вводится понятие о напряжении. |
|
|
Выделим в окрестности интересующей нас точки сечения малую площадку, площадью |
||
∆А. Допустим, что на этой площадке возникает внутренняя сила ∆R (рис. 7а). Отношение этой |
||
внутренней силы к площади выделен- |
||
ной площадки называется средним на- |
||
пряжением рср в окрестности рассмат- |
||
риваемой точки по проведённому сече- |
||
нию (по площадке ∆А): |
рср = ∆R/∆А. |
|
В пределе при стремлении ∆А к нулю |
||
получим истинное напряжение в дан- |
||
ной точке рассматриваемого сечения: |
||
|
|
p = lim |
R = dR. |
|||
|
|
|
A→0 |
A |
dA |
|
В Международной системе единиц (СИ) в качестве единицы напряжения принят пас- |
||||||
каль (Па). Паскаль – это напряжение, при котором на площадке в 1 м2 возникает внутренняя |
||||||
сила, равная 1Н. Но эта единица очень мала, поэтому используется кратная ей единица – мега- |
||||||
паскаль, 1 МПа = 106 Па. |
|
|
|
|
|
|
Разложим вектор напряжения р на две составляющие: одну – направленную по норма- |
||||||
ли к сечению, вторую – |
лежащую в плоскости сечения (рис. 7б). Составляющую полного на- |
|||||
пряжения, направленную по нормали к площадке её действия, называют нормальным на- |
||||||
пряжением и обозначают σ (сигма), а составляющую, лежащую в плоскости сечения, - каса- |
||||||
|
|
тельным напряжением и обозначают τ (тау). Между на- |
||||
|
|
пряжениями р, σ и τ существует следующая очевидная за- |
||||
|
|
висимость: |
p = |
|
σ2 + τ2 . |
|
|
|
Установим теперь связь между напряжениями и внутренни- |
||||
|
|
ми силовыми факторами в поперечном сечении бруса (рис. |
||||
|
|
8). Разложим полное напряжение на три составляющие, на- |
||||
|
|
правленные параллельно координатным осям. На рис. 8 по- |
||||
казано это разложение применительно к произвольной точке поперечного сечения бруса. |
||||||
Для этих трёх составляющих принято следующее правило индексов: первый индекс |
||||||
указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке, а второй индекс показывает, вдоль ка- |
||||||
кой оси действует данное напряжение. Обычно у нормального напряжения принято писать |
||||||
лишь один индекс. |
|
|
|
|
|
|
Зависимость между полным напряжением и тремя его составляющими выражается оче- |
||||||
видной формулой |
p = |
σ2z + τ2zx + τ2zy . |
|
|
|
|
Умножая напряжения σz,, τzx , τzy |
на площадь dA площадки их действия, получим эле- |
|||||
ментарные внутренние силы: |
|
|
|
|
||
|
|
dN = σz dA, |
dQx = τzx dA, |
dQy = τzy dA. |
||
Суммируя эти элементарные силы по всей площади сечения, получим выражения со- |
||||||
ставляющих главного вектора внутренних сил в сечении: |
||||||
N = ∫ σz dA , Qx = ∫ τzx dA , Qy = ∫ τzy dA .
A A A
Умножая каждую из элементарных сил на расстояние до соответствующей оси, полу-
чим элементарные моменты внутренних сил: dMx = dN · y = (σz dA) · y;
dMy = dN · x = (σz dA) · x;
dMz = dQy · x - dQx · y = (τzy dA) · x - (τzx dA) · y.
Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получим выражения для состав-
ляющих главного момента внутренних сил:
Mx = ∫ σz y dA , |
My = ∫ σz x dA , |
Mz = ∫ (τzy x dA − τzx y dA). |
A |
A |
A |
|
|
|
Таким образом, задача сопротивления материалов об определении напряжений, возни-
кающих в поперечных сечениях бруса при различных видах его нагружения, состоит в сле-
дующем: с помощью метода сечений определяем внутренние силовые факторы, а затем
из полученных формул находим напряжения.
Понятие о деформациях.
Под действием нагрузки тело деформируется, т.е. его формы и размеры изменяются. Деформация состоит из двух частей: упругой, обратимой деформации, которая исчезает по-
сле удаления нагрузки, и неупругой, остаточной деформации, которая не исчезает после удаления нагрузки. Неупругая деформация, которая не сопровождается разрушением, называ-
ется пластической деформацией.
Деформации тела могут развиваться с течением времени при неизменной нагрузке. Та-
кие деформации называются деформациями ползучести.
Термин «деформация» употребляют в сопротивлении материалов в двояком смысле: в
первом - под деформацией подразумевают изменение формы и размеров тела, во втором – под деформацией рассматривают изменение длин и углов в окрестности точки тела. Рассмотрим та-
кие деформации.
dy
y d
+
y d 
|
x |
|
d |
|
+ |
x |
|
d |
|
Мысленно через точку а тела проведём беско-
нечно малые отрезки, параллельные осям коор-
динат ab и ac. Длина этих отрезков равна dx, dy.
На рис. 9 показаны эти отрезки в плоскости ху.
При деформировании тела эти отрезки переме-
щаются (положение a*, b*, c*), при этом длины отрезков и углы между ними изменяются.
Изменение длин отрезков ∆x, ∆y, ∆z на-
зываются абсолютными линейными деформациями. |
Отношение приращения длин отрез- |
|
ков к первоначальной длине называется относительной линейной деформацией: |
||
εx = dx , |
εy = dy , |
εz = dz . |
dx |
dy |
dz |
Изменение первоначально прямого угла между отрезками ab и ac после приложения
нагрузки к телу, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию γху в точ-
ке а в плоскости ху. Аналогично, γyz и γzх представляют собой угловые деформации в плоско-
стях yz и zx.
Деформации тела в каждой его точке по любым направлениям могут быть определены,
если известны линейные εx, εy, εz и угловые γху, γyz, γzх деформации. Линейные и угловые деформации – величины безразмерные.
Простейшие типы деформации бруса.
При произвольной форме тела его деформации могут быть весьма разнообразными.
Для бруса можно указать несколько простейших типов деформаций, возникающих при опре-
делённом способе приложения внешних сил.
Рассмотрим эти простейшие деформации бруса:
1). Осевое растяжение или сжатие (рис. 10а).
При осевом растяжении или сжатии в поперечных сечения бруса возникают только продоль-
ные силы N. Брус, испытывающий растяжение или сжатие, называют стержнем. В зависи-
мости от вида конструкции сжатые стержни также называют стойками, колоннами, столбами. 2). Сдвиг (рис.10б).
При сдвиге в поперечных сечения бруса возникают только поперечные силы Q.
Деформации сдвига возникают в заклёпочных, болтовых, сварных, клеевых соединениях. 3). Кручение (рис.10в).
При кручении в поперечных сечения бруса возникают только крутящие моменты Mz. Стерж-
ни, работающие на кручение, называют валами. 4). Изгиб (рис.10г).
В поперечных сечения стержня возникают изгибающие моменты и поперечные силы, напри-
мер, Mx и Qy. Стержни, работающие на изгиб, называют балками.
В заключение отметим, что другие типы деформации стержней в большинстве случаев оказывается возможным рассматривать как комбинацию простых деформаций.
Лекция №2
Стержень и его геометрические характеристики.
Стержень характеризуется осью и поперечным сечением.
Ось – линия соединяющая центры тяжести всех поперечных сечений стержня. Поперечное сечение – плоская фигура, получающаяся при рассечении стержня плоскостью перпендикулярной его оси.
Ось стержня может быть прямолинейной или криволинейной.
Поперечное сечение может быть постоянным по длине стержня, но может быть и пере-
менным (рис. 11).
При расчётах стержней на прочность используется не только площадь поперечного се-
чения стержней, но и более сложные геометрические характеристики сечений, которые необ-
ходимо ввести и научиться пользоваться ими.
1. Статические моменты сечений.
Разбиваем заданную фигуру на элементарные площадки dA (рис. 12). Умножаем площадь каждой площадки на координаты их цен-
тра тяжести х и у. Интегрируя по площади сечения, в итоге полу-
чим следующие результаты:
Sx = ∫ y dA , Sy = ∫ x dA .
A A
Sx и Sy называются статическими моментами сечения относительно осей х и у.
Для статических моментов можно указать следующие свойства:
статические моменты выражаются в см3, м3 и т. д.
статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.
статические моменты равны нулю относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения – центральных осей.
Установим зависимость между статическими моментами относительно пары параллельных
осей (рис. 13).
Sx1 = ∫ y1 dA ; Sx = ∫ y dA = ∫(y1 + a) dA = ∫ y1 dA + a ∫ dA = Sx1 + a × A .
A A A A A
Выполняя аналогичные вычисления для осей у и у1 , окончательно получим
Sx |
= Sx + a × A ; Sy |
= Sy |
+ b × A . |
|
1 |
|
1 |
Если оси х1 и у1 проходят через центр тяжести сечения (точка С, рис. 14), тогда
а = ус, b = хс и из полученных выше равенств будем иметь
Sxc = Sx - yc × A , Syc = Sy - xc × A .
Приравняв статические моменты Sxc и Syc нулю, получим формулы для определения поло-
жения центра тяжести сечения:
xc |
= |
Sy |
; yc = |
S |
x |
и Sx |
= yc × A ; Sy |
= xc × A . |
A |
|
|
||||||
|
|
|
A |
|
|
|||
Из полученных формул следует:
статические моменты равны нулю относительно центральных осей;
оси симметрии являются центральными осями.
Если сечение можно разбить на ряд простых фигур (прямоугольники, треугольники, круг, по-
лукруг и т. д.), площади и центры тяжести которых известны, координаты центра тяжести се-
чения определяются по формулам:
xC |
= |
Σ( Аi x i ); |
yC |
= |
Σ( Аi y i ) . |
|
|
Σ Аi |
|
|
Σ Аi |
В отдельных случаях, когда заданное сечение нельзя разбить на простейшие, положение цен-
тра тяжести необходимо определять путём интегрирования.
2. Моменты инерции сечений.
Для плоского поперечного сечения можно ввести следующие новые геометрические характе-
ристики:
осевой момент инерции сечения относительно оси х:
Jx = ∫y 2 dA ;
A
осевой момент инерции сечения относительно оси у:
Jy = ∫x 2 dA ;
A
центробежный момент инерции сечения:
Jxy = ∫xy dA ;
A
полярный момент инерции сечения:
Jp = ∫ρ2 dA .
Для моментов инерции можно указать следующие свойства:
моменты инерции имеют размерность мм4, см4 и т. д.;
осевые моменты инерции Jx, Jy и полярный момент инерции Jp всегда положительны и
не равны нулю;
центробежный момент инерции Jxy может быть положительным, отрицательным и равным нулю;
оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю: Jxy = 0, в
дальнейшем будем называть главными осями инерции.
Рассмотрим сечение, у которого ось у, например, - ось симметрии
(рис.15).
Центробежный момент инерции двух площадок, расположенных сим-
метрично, равен: