9562

Тогда

Ввиду симметрии сечения у = 2b = 4 см. Через найденный центр тяжести прово-

дим главные центральные оси хс и ус.

2. Вычислим главные моменты инерции.

Ввиду совпадения осей хс и хс1, хс2, хс3:

Для вычисления момента инерции относительно оси ус используем формулу из-

менения момента инерции при параллельном переносе осей:

Здесь через l1, l2, l3 обозначены: соответственно расстояния между осью ус и ося-

ми ус1, ус2, ус3.

3. Нахождение наибольших напряжений и допускаемых нагрузок.

Подставляя в формулу вычисленные значения моментов инерции, а также коор-

динаты точки приложения нагрузки и точек, где возникают наибольшие растягиваю-

щие и сжимающие напряжения, получим:

В точке А(-4,136; 4) - напряжение сжатия

Из условия прочности при сжатии

множитель 104 здесь переводит квадратные, сантиметры в метры. Допускаемая нагрузка

В точке D (3,864;-2) возникает максимальное напряжение растяжения

Условие жесткости

fmax ≤ [f].

Общий случай сложного сопротивления

Напомним, как распределяются касательные напряжения в поперечном сечении стержня прямоугольной формы при кручении.

Большая сторона сечения - h. Меньшая сторона сечения – b.

Наибольшее напряжение развивается в середине длинной стороны. Его определяют по формуле:

τ1 = Mкр , где Wк = β b3 .

Wк

Через τ1 выражается напряжение в середине короткой стороны: τ 2 = γ τ1 .

Угол закручивания определяется по формуле:

ϕ = Мкр l , где Jк = α b4 . G Jк

Входящие в эти формулы коэффициенты α ,β ,γ зависят от соотношения сторон прямоугольника.

Значения коэффициентов приведены в таблице.

Ответ: F ≤ 12,3 кН.

σ эквIII = σ z2 + 4τ к2 £ [σ ]

σ эквIII = 1402 + 4 × 32,52 = 154,4 МПа < [σ ] = 160 МПа.

Таким образом, прочность консоли обеспечена.

Лекция №14

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ.

Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия.

Несущая способность сжатого стержня может оказаться исчерпанной вследствие

потери устойчивости, т.е. в результате выпучивания. Выпучивание происходит рань-

ше, чем стержень выйдет из строя непосредственно от сжатия.

Известно, что равновесие абсолютно твёрдого тела бывает устойчивым, без-

различным и неустойчивым. Также обстоит дело и в механике деформируемых тел, од-

нако, для тел деформируемых вид равновесия зависит от величины прикладываемой нагрузки.

Рассмотрим длинную стойку, на которую действует осевая сжимающая сила. В за-

висимости от величины сжимающей силы можно выделить три случая поведения стой-

ки.

Рис. 71

1 случай (рис. 71а). Сжимающая сила F имеет значение меньше некоторой вели-

чины, которую называют критическая сила Fкр. Стойка находится в состоянии ус-

дифференциальное уравнение примет следующий вид

Полученное уравнение однородное с постоянными коэффициентами. Как известно из математики, его решение имеет вид

v = C1 sin kz + C2 coskz.

Постоянные интегрирования определяем из условий закрепления стержня:

Если C1 = 0, то получаем v = 0, что соответствует первоначальному, неискривлённому положению стержня. Остаётся положить, что sin kl = 0. Это равенство имеет бесчис-

ленное множество корней, т.е. kl = nπ (n = 1, 2, 3, …..).

Возведя полученное равенство в квадрат: k2l2 = n2π2 и учитывая принятое обо-

значение для k2, получим формулу критической силы сжатого стержня

Формула подобного вида впервые выведена в 1744 г. Л. Эйлером и носит его имя.

Для инженерных расчётов необходимо знать наименьшее значение критической си-

лы, поэтому принимаем n = 1, а J = Jmin. Тогда окончательно получим

Изогнутая ось стержня при продольном изгибе описывается формулой

v(z) = C1 sin πz . l

Очевидно, что изогнутая ось стержня представляет собой половину волны синусоиды.

Постоянная интегрирования С1 осталась неизвестной, поскольку стержень находится в состоянии нейтрального равновесия.

При других способах закрепления концов стержня значение критической силы может быть получено аналогично – путём решения соответствующего дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. В простейших случаях можно ограничиться сравне-

нием формы изогнутой оси с той, которая представляет собой одну полуволну сину-

соиды. Такое сравнение позволяет записать формулы критического напряжения для случаев закрепления показанных на рис. 73.

Рис. 73

Полученные формулы можно записать в виде одной формулы, используя поня-

тие приведённой длины: lприв = µ l, где µ – коэффициент приведения, зависящий от спо-

соба закрепления концов стержня:

µ= 1 - для шарнирно закреплённого по концам стержня;

µ= 0,7 - для стержня защемлённого на одном конце и шарнирно на другом;

µ = 0,5 - для стержня защемлённого по концам;

µ = 2 - для стержня защемлённого только на одном конце.

Итак, окончательно при любом способе закрепления концов стержня формулу для критической силы можно представить в следующем виде:

2. Критическое напряжение. Неупругий продольный изгиб.

Значение нормального напряжения, вызванного в поперечном сечении стержня крити-

ческой силой, также называется критическим напряжением σкр.

Определяем критическое напряжение: