8776

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2( m1 + m2 )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

1.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

v1, v2, … v

деформации. По третьему закону Ньютона, для преодоления силы упругости надо приложить силу

F = – F упр = kx.

Элементарная работа dA; совершаемая силой F при малой деформации dx, равна

dA = Fdx = kxdx,

а полная работа

A = ∫ kxdx = kx 2 / 2 + C = П + C

идет на увеличение потенциальной энергии пружины.

Если принять, что потенциальная энергия недеформированного тела (при х = 0) равна нулю, то С = О. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

П =kx2 /2.

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия:

Е = Т + П.

§ 13. Закон сохранения энергии

Выведем закон сохранения энергии. Для этого рассмотрим замкнутую систему материальных точек.массами m1, m2, … mn, движущихся со скоростями n. Пусть F1', F2’, … , F n’ — равнодействующие внутренних

консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а F1, F2, … , F n — равнодействующие внешних сил. При v « с массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

		32
m1	dv1		′	+ F1
	dt
			= F1
m2	dv 2		′	+ F2
	dt
			= F2
. . . . . . . .
mn	dvn		′	+ Fn
	dt
			= Fn

Пусть все точки за какой-то интервал времени dt совершают перемещения dx1, dx2, … , dx n. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение, и, учитывая, что dxi = vidt, получим

′	+ F1 )dx1	= 0
m1 ( v1dv1 ) − (F1
′	+ F2 )dx2	= 0
m2 ( v 2dv 2 ) − (F2
. . . . . . . . . . . .
′	+ Fn )dxn = 0
mn ( vndvn ) − (Fn

Сложив эти уравнения и учитывая, что система замкнута, т. е.

F1 + F2 + … + F n = 0,

получим

n		n	′	= 0 ,
∑ mi vi dvi −		∑ Fi dxi		= 0 ,
i=1	i=1
n	n		/ 2 ) = dT .
∑ mi vi dvi	= ∑ d( mi vi2		/ 2 ) = dT .		(13.1)
i=1	i=1

dT - бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы, а

− ∑ Fi′dxi = dП - бесконечно малая работа всех действующих в системе

i=1

внутренних консервативных сил, взятая с обратным знаком, т. е., согласно (12.2), бесконечно малое изменение потенциальной энергии системы dII. Следовательно, для всей системы в целом

d T+ dII = О,

откуда полная механическая энергия замкнутой системы

T + П = Е = const.

(13.2)

Выражение (13.2) представляет собой закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Взамкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консервативны, взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Такие системы называются замкнутыми консервативными системами . Существует еще один вид систем — диссипативные системы —

такие системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации или рассеяния, энергии. Строго говоря, все системы в природе являются. диссипативными. При движении тела в замкнутой консервативной системе происходит непрерывное превращение кинетической его энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной. Закон сохранения и превращения энергии

-фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем микроскопических тел, так и для систем микротел.

Взамкнутой системе, в которой действуют силы трения, полная механическая энергия системы при движении убывает. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

§ 14. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Примером применения законов сохранения количества движения и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение) — это встреча двух или более тел, при которой взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоиx взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и

вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения количества движения и закон сохранения кинетической энергии. Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара через v1 и v2, после удара — через v'1 и v'2 (рис. 18). Так как удар центральный, то будем рассматривать модули величин. Законы сохранения имеют вид

′

(14.1)

m1v1 + m2 v2 = m1υ1 + m2υ2

′

m1v1

m2 v2

m1υ1

m2υ2

(14.2)

v`1

v`2

Произведя соответствующие преобразования

Рис. 18

в выражениях (14.1) и (14.2), получим

′

+ v2 )

(14.3)

m1 (υ1

+ v1 ) = m2 (υ2

′2

)

(14.4)

m1 ( v1

+ υ1

) = m2 ( v2 + υ2

откуда

′

υ1

+ v1 = υ2 + v2

Решая совместно уравнения (14.3), (14.4) и (14.5), находим

υ′

( m1 − m2 )v1 + 2m2v2

(14.6)

m1 + m2

′

( m2 − m1 )v2 + 2m1v1

(14.7)

υ2 =

m1 + m2

Для анализа полученных результатов разберем несколько примеров:

1) при v 2 =0

m1 − m2

′

(14.8)

υ1

m1 + m2

′

2m1

m1 + m2

(14.9)

Проанализируем выражения (14.8) и (14.9) для

различных масс:

v`2

а) m1 = m2. Если второй шар до удара висел

неподвижно

(v2

0) (рис.19),

то после

удара

v`2

Рис. 19

остановится первый шар (υ'1 = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (υ`2 = v1);

б) m1 > m2. Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (υ'1 < υ1). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (υ'2 > υ'1) (рис. 20);

m1 m2

v1 v2=0

в) m1 < m2. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью (рис. 21);

m1	m2
	m2							г)	m1	>>	m2
	v`1	v`2		m1	m2			г)	m1	>>	m2
	v`1	v`2		m1				(например, столкновение со
	Рис. 20			v1		v2=0		стеной).	Из уравнений
	Рис. 20			v1		v2=0		(14.8) и (14.9) следует, что
					m2			(14.8) и (14.9) следует, что
				m1	m2
	υ'1 = - v1, υ'2			m1				≈ 2m1v1/m2 ≈ 0
	υ'1 = - v1, υ'2					v`2		≈ 2m1v1/m2 ≈ 0
	2) при m1	= m2.		v`1		v`2		Выражения (15.6)		и (15.7)
	будут иметь вид			Рис. 21
	υ'1 = v2, υ'2 = v1,			Рис. 21
	υ'1 = v2, υ'2 = v1,
	т. е. шары							равной			массы
	обмениваются скоростями.
m1	m2			Абсолютно неупругий удар —					столкновение двух
m1

	v2		тел,	в результате которого тела объединяются,						двигаясь
	v1		дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно
			дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно
	m1+m2		неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина
	v		(глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).
	v		v2,	Если массы. тел m1			и m2, их скорости до удара v1 и
	Рис. 22		v2,	то используя		закон		сохранения	импульса,		можно
	Рис. 22		записать
			записать		m1 v1 + m2 v 2 = ( m1 + m2 )v
					m1 v1 + m2 v 2 = ( m1 + m2 )v
			откуда			+ m2 v 2
				v =	m1 v1	+ m2 v 2				(14.10)
				v =	m1	+ m2				(14.10)
					m1	+ m2

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим количеством движения. В частном случае, если массы шаров равны (m1 = m2), то

v = (v1 + v2)/2

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от величины самих деформаций, а от скоростей деформаций, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит потеря кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии, Эту потерю можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

m v 2			m	v 2		( m + m	2	)v 2
T =	1 1	+	2	2	−	1	2
T =		+			−
	2		2			2
	2		2			2

Используя (14.10), получим

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2 = 0), то

v =		m1v2
		m1 + m2

T =		m			m v 2
			2		1	1

	m1 + m2			2

Когда m2 » m1, (масса неподвижного тела очень большая), то v << v1, и почти вся кинетическая энергия дела при ударе переходит в другие формы энергии. Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит потеря механической энергии под действием диссипативных сил.

Краткие выводы

∙Энергия – универсальная мера различных форм движения материальных объектов и их взаимодействия. Количественной характеристикой процесса обмена энергией между взаимодействующими телами является

физическая скалярная величина – работа сил. Элементарная работа силы

dA = Fd r = F cosα × ds = Fτ ds.

Работа силы на произвольном участке траектории 1-2

A = ∫ F cosα × ds = ∫ Fτ ds.

·Мощность – физическая скалярная величина, характеризующая скорость совершения работы:

P = dA . dt

Мощность, развиваемая силой F в данный момент времени, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы:

P = Fdr = Fv.

∙Консервативная сила – сила, работа которой при перемещении из одного положения в другое не зависит от траектории перемещения, а зависит только от начального и конечного положений тела. Силовое поле, в котором консервативные силы совершают работу, называется

потенциальным полем.

∙Кинетическая энергия - механическая энергия всякого свободно движущегося тела, численно равная работе, которую совершают действующие на тело силы при его торможении до полной остановки:

Ek = A = mv 2 . 2

∙Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

∙Связь между консервативной силой F и потенциальной энергией устанавливается выражением

F = − gradЕп,

где

∂Еп

gradЕп = =

i +

j +

k .

∂x

∂y

∂z

Отсюда, как частные случаи, определяются: а) потенциальная энергия тела массой m на высоте h

Еп = mgh;

б) потенциальная энергия упругодеформированного тела

Еп = kx 2 , 2

где k – коэффициент упругости (для пружины – жесткость).

∙Полная энергия механической системы – равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

W= Ek + En .

∙Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние) называются

консервативными системами. В таких системах выполняется закон сохранения механической энергии:

Ek + En = W = const,

т.е. полная механическая энергия консервативной системы со временем не изменяется. Это фундаментальный закон природы, ко торый является следствием однородности времени.

∙Система, в которой механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие формы энергии, называется диссипативной. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными. Однако при уменьшении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Другими словами, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность всеобщего закона сохранения и превращения энергии – неуничтожимость материи и ее движения.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1.Что такое энергия, работа, мощность?

2.Как определяется работа переменной силы?

3.Какие силы называются консервативными? Приведите примеры консервативных сил.

4.Какие силы называются диссипативными? Приведите примеры таких сил.

5.Дайте определения кинетической и потенциальной энергии.

6.В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он выполняется?

7.Каким свойством времени обусловлена справедливость закона сохранения механической энергии?

8.В чем физическая сущность закона сохранения и превращения энергии? Почему он является фундаментальным законом природы?

9.Как на основе закона сохранения механической энергии охарактеризовать положения устойчивого и неустойчивого равновесия

консервативной системы?

10.Что такое потенциальная яма? потенциальный барьер?

Примеры решения задач

Задача 1. С башни высотой 20 м горизонтально со скоростью 10 м/с брошен камень массой 400 г (рис. 23). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить кинетическую и потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения.

Дано: H = 20 м; v0 = 10 м/с; m = 0,4 кг; t = 1c.

Найти: Ek, Eп.

Решение

В точке

Ek =

Eп

= mgh,

где

v = v x2 + v y2 = v02 + (gt) 2 ,

A vx

h = H − h ,

h =

gt 2

;

(v 2 + g 2 t 2 ),

= mg(H −

gt 2

Подставляя

числовые

Рис. 23

данные, получим Ek

= 39,2 Дж,

Eп = 59,2 Дж.

Ответ: Ek = 39,2 Дж, Eп = 59,2 Дж.

Задача 2. Автомобиль массой 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути (рис. 24). Определить: а) работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; б) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолен за 5 мин.

Дано: m = 1800 кг; sinα = 0,03; s							N
Дано: m = 1800 кг; sinα = 0,03; s							F
= 5000 м; µ = 0,1; t = 300 с.							F
= 5000 м; µ = 0,1; t = 300 с.
Найти: А, Р.
	Решение						F1
	Решение						Fтр
							Fтр
A = F1 s + Fтр s,		где F1		= mg sin α,			F2
Fтр = μmg cosα;							mg
cosα =			;				α
	1 − sin 2 α			P =	A		α
	1 − sin 2 α
A = mgs(sin α + μ cosα );						.	Рис. 24
A = mgs(sin α + μ cosα );						.	Рис. 24
					t
Подставляя		числовые данные,
получим:
А = 11,5·106 Дж, Р = 38,3·103 Вт.

Ответ: А = 11,5 МДж, Р = 38,3·кВт.

Глава 4. Механика твердого тела

§ 15. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

n
J = ∑ mi ri	2	(15.1)

i=1

Вслучае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

h			2	dm
			J = ∫ r	dm
	dr
r	где интегрирование		производится по		всему	объему
r	тела.	Величина r	в этом случае		есть	функция
	тела.	Величина r	в этом случае		есть	функция

Rположения точки с координатами х, у, z.

Вкачестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.

Рис. 21	21). Разобьем	цилиндр на отдельные		полые
	концентрические	цилиндры	бесконечно	малой
толщины dr с внутренним радиусом r и внешним –			r + dr. Момент инерции

каждого полого цилиндра dJ = r2dm (так как dr <<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра. 2πrhdr — объем рассматриваемого элементарного цилиндра. Если ρ

— плотность материала, то его масса

dm = ρ · 2πrhdr и dJ = 2πhρr3dr.

Тогда момент инерции сплошного цилиндра

J = ∫ dJ = 2πhρ∫ r3dr = 12 πhR 4ρ

но так как πR2h – объем цилиндра, то его масса m = πR2hρ, а момент инерции

J = 12 mR 2

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции JС относительно параллельной

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20231.88 Mб08771.pdf
#
25.11.20231.88 Mб08772.pdf
#
25.11.20231.88 Mб08773.pdf
#
25.11.20231.88 Mб08774.pdf
#
25.11.20231.88 Mб08775.pdf
#
25.11.20231.88 Mб08776.pdf
#
25.11.20231.88 Mб08777.pdf
#
25.11.20231.88 Mб18778.pdf
#
25.11.20231.88 Mб08779.pdf
#
21.11.2023158.96 Кб0878.pdf
#
25.11.20231.88 Mб28780.pdf