8776

121

то получим то же самое соотношение, умноженное на минус 1. Поэтому недостающие два соотношения для определения трех неизвестных токов можно получить, пользуясь вторым правилом – для контуров.

3.Выберем замкнутый контур А-ε1 -Б – R – А и направление его обхода по часовой стрелке (выбирается произвольно). Применим для него второе правило Кирхгофа: ε1 = I1r1 + IR . ЭДС имеет знак + поскольку, при движении внутри источника, проходится от отрицательной к положительной клемме. Вторым возьмем контур А- R – Б - ε 2 - А и обойдем его против часовой стрелки. Второе правило Кирхгофа в этом случае приводит к соотношению: − ε 2 = −IR − I 2 r2 .

4.Решаем полученные уравнения относительно неизвестных токов и в результате получим ответ для любых значений элементов цепи:

Видим, что токи, текущие через источники могут менять направление (знак) в зависимости от параметров цепи. Поэтому угадать как нужно ставить стрелки до решения задачи не возможно.

Из первой формулы можно сделать вывод, что батарею из двух параллельно присоединенных источников тока можно заменить одним источником со следующими параметрами:

же ток, равный I при прежнем сопротивлении нагрузки R.

Краткие выводы

·Электрический ток – это упорядоченное движение электрически заряженных частиц. Количественными характеристиками тока являются

сила тока

I = dq dt

и плотность тока

j = dI . dS

Ток, сила и направление которого не изменяются с течением времени, называется постоянным.

·Для возникновения и поддержания электрического тока необходимо: а) наличие свободных электрических зарядов; б) наличие электрического поля; в) присутствие в цепи устройств (источников тока), способных поддерживать разность потенциалов за счет работы сторонних сил.

122

∙ЭДС – физическая скалярная величина, определяемая работой сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда:

ε= Аст .

q0

∙Напряжение на участке цепи – физическая скалярная величина, определяемая работой суммарного поля кулоновских и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке:

U12 = ε12 + (ϕ1 − ϕ 2 ).

Напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов, если участок не содержит источника тока (ε 12 = 0 ), т.е. является однородным.

∙Электрическое сопротивление линейных металлических проводников зависит от материала, длины и площади поперечного сечения:

R = ρ l . S

С увеличением температуры сопротивление таких проводников увеличивается:

ρ = ρ 0 (1 + αt ),R = R0 (1 + αt ).

∙Проводники в электрической цепи могут соединяться последовательно и параллельно:

Закон Ома в дифференциальной форме связывает плотность тока в любой точке проводника с напряженностью электрического поля в той же точке: j = γE .

∙Участок цепи, содержащий источник тока, называется неоднородным.

Закон Ома для неоднородного участка цепи (закон Ома в интегральной форме)

123

I = ε12 + (ϕ1 − ϕ 2 ) .

R

В зависимости от конфигурации участка цепи или режима из этого закона получаем:

∙Количество теплоты, которое выделяется в проводнике при протекании электрического тока, определяется законом Джоуля-Ленца:

Q = I 2 Rt.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме связывает удельную тепловую мощность тока с напряженностью электрического тока:

ω= γE 2 .

∙Мощность электрического тока – физическая величина, определяемой работой, совершенной током за единицу времени:

P = dA = UI = U 2 = I 2 R. dt R

∙Одним из методов расчета разветвленных электрических цепей является расчет с использованием правил Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов в узле

электрической цепи равна нулю, т.е.

n

∑ I к = 0.

к=1

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС источников равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участка этого контура, т.е.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1.Что понимают под электрическим током? Каковы условия возникновения и поддержания электрического тока проводимости?

2.Что называют силой тока, плотностью тока? Каковы их единицы?

124

3.Какова физическая природа электрического сопротивления проводника? От чего зависит сопротивление металлического проводника?

4.Какова связь между сопротивлением и проводимостью, удельным сопротивлением и удельной проводимостью? Каковы их единицы?

5.Какой участок электрической цепи называют однородным, неоднородным? Выведите закон Ома в дифференциальной форме.

6.Какова физическая сущность ЭДС источника тока, разности потенциалов, напряжения?

7.Как определяется эквивалентное сопротивление проводников при их последовательном и параллельном соединении?

8.Сформулируйте закон Ома в интегральной форме. Какие частные законы можно из него получить?

9.Что называют мощностью электрического тока? Сформулируйте закон Джоуля-Ленца.

10.Выведите закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Что называют удельной тепловой мощностью тока?

11.Сформулируйте правила Кирхгофа и запишите их математические выражения.

12.Изложите сущность метода расчета разветвленной электрической цепи с использованием правил Кирхгофа.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить ток короткого замыкания источника ЭДС, если при

Используя данные для нормальных режимов цепи, получим систему уравнений

ε = I1 r + I1 R1 ,

ε = +

I 2 r I 2 R2 ,

откуда

127

Ответ: I 1 = 1,619 A, I 2 = 0,86 A, I 3 = 0,822 A, I 4 = 0,038 A, I 5 = 0,758 A,

I6 = 0,796 A .

Глава 3. Магнитное поле постоянного тока

Постоянные магниты были известны еще в древности, поскольку проявления их можно наблюдать в природе. Позже, в 1820г. Эрстедом была обнаружена связь магнитных явлений с электрическими. Он обнаружил, что прямолинейный ток взаимодействует с магнитной стрелкой, причем последняя устанавливается перпендикулярно направлению тока.

§ 15. Действие магнитного поля на ток. Индукция магнитного поля

Взаимодействие постоянного магнита и тока на расстояние можно объяснить наличием вокруг постоянного магнита особой формой материи - магнитного поля. Французский физик А. Ампер провел систематические исследования силы взаимодействия между полем постоянного магнита и проводником с током. Результатом этих исследований является закон, позволяющий вычислить силу магнитного воздействия на проводник с током в зависимости от характеристики магнитного поля – индукции магнитного поля.

Основные положения удобно формулировать для проводника бесконечно малой (практически достаточно малой) длины. Назовем элементом тока вектор, модуль которого равен произведению длины малого проводника на

силу тока в нем, а направление совпадает с направлением тока ( I × l ).

Измеряя силу, действующую на элемент тока, помещенный в данную точку магнитного поля (силу Ампера FА ) можно придти к следующим выводам:

сила пропорциональна модулю элемента тока FА ~I×l; направление силы перпендикулярно элементу тока FА ^( I × l );

величина силы зависит от направления элемента тока; при некоторой ориентации элемента тока сила в данной точке пространства обращается в ноль, а при повороте элемента тока на угол π / 2 относительно этого направления, сила принимает максимальное значение для данной точки пространства FMAX .

Значение FMAX / (I×l) не зависит от величины и направления элемента тока, а является характеристикой магнитного поля в данной точке пространства – индукцией магнитного поля - B :

B = FMAX .

I × l

Таким образом индукцией магнитного поля называется вектор, модуль которого равен максимальной силе, действующей на единичный элемент тока, помещенный в данную точку магнитного поля. За направление вектора

128

магнитной индукции принимается направление вектора элемента тока, при котором сила Ампера обращается в ноль в данной точке пространства. Это направление я совпадает с ориентацией северного полюса магнитной стрелки.

В системе СИ единицей измерения магнитной индукции является тесла (Тл), связанная с другими единицами соотношением 1 Тл=1 Н/( А м). То есть один тесла это индукция такого магнитного поля, которое действует на проводник с током 1 ампер с максимальной силой 1 Н на каждый метр длины проводника.

Суммируя отмеченные свойства силы и определение магнитной индукции, можно записать закон Ампера, определяющий величину и направление силы, действующей на элемент тока, помещенный в магнитное моле:

FA = [Il × B ] ,

где квадратные скобки подразумевают векторное произведение. Предлагаем убедиться, что приведенная формула правильно описывает все перечисленные свойства силы Ампера.

Пользуясь известным выражением для модуля векторного произведения, получим из закона Ампера формулу для вычисления величины магнитной силы:

FA = I × l × B × sinα , где a ¾ угол между элементом тока и вектором B .

Направление силы Ампера можно определить либо из векторного произведения, либо известного со школы правила левой руки: «если расположить левую руку так, чтобы четыре пальца были направлены в направлении тока в проводнике, а вектор магнитной индукции – в ладонь, то отставленный большой палец покажет направление силы».

§ 16. Принцип суперпозиции для магнитного поля

Если в пространстве есть магнитное поле с индукцией В1 (создаваемое,

например постоянным магнитом), то сила, действующая на кокой – либо проводник с током будет определяться законом Ампера. Если вы поднесете к

проводнику второй магнит, создающий поле В2 , то магнитная сила,

действующая на проводник изменится. Поскольку проводник и ток в нем остались прежними, следовательно изменилось магнитное поле в месте расположения проводника. На опыте можно установить, что сила действия двух

магнитов F1+2 равна векторной сумме сил F1 и F2 , с которыми действует на

элемент тока каждый из магнитов. Используя закон Ампера и свойства аекторного произведения это можно записать в виде:

F1+2 = F1 + F2 = [Il × B1 ] + [Il × B2 ] = [Il × (B1 + B2 )] .

С другой стороны, поскольку сила Ампера определяется вектором магнитной индукции B1+2 , имеющимся в пространстве, можно записать:

129

= [Il × B1+2 ]. Сравнивая два последних выражения приходим к выводу,

что суммарный вектор магнитной индукции равен векторной сумме индукции магнитных полей, создаваемых каждым магнитом в отсутствии другого:

B1+2 = B1 + B2 .

Сказанное справедливо не только для двух источников магнитных полей, но и для произвольного их числа. Принцип суперпозиции говорит о независимом наложении магнитных полей.

§ 17. Закон Био-Савара-Лапласа

На опыте наблюдается не только взаимодействие между постоянным магнитом и проводником с током, но и между двумя проводниками с током в отсутствие магнита. Можно объяснить наличие силы, действующей на первый проводник тем, что другой проводник с током окружен своим собственным магнитным полем, которое действует на первый проводник по закону Ампера. Таким образом можно сделать вывод, что вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле. Определить индукцию магнитного поля проводника с током можно при помощи закона Био – Савара – Лапласа, являющегося обобщением опытных фактов.

Удобно сформулировать закон генерации магнитного поля для бесконечно малого элемента тока (длиной dl). Тогда, в соответствие с принципом суперпозиции, индукция любого проводника с током может быть найдена в любой точке наблюдения как векторная сумма полей, создаваемых всеми элементами тока, из которых состоит проводник.

На рисунке изображен элемент тока. Вектор r соединяет элемент тока и точку наблюдения. Индукцию магнитного поля, создаваемую бесконечно малым элементом тока в точке наблюдения обозначим как dB .

I

dl

S

dB – элементарное магнитное поле, создаваемое элементарным отрезком провода с током I.

Закон Био – Савара – Лапласа в векторной форме можно записать в виде (используется система Си):

В данной форме закон определяет и величину и направление магнитного поля. Видим, что магнитное поле пропорционально величине элемента тока и

130

направлено перпендикулярно и элементу тока и вектору r . Здесь μ0 -

магнитная постоянная, равная 4π ×10−7 Тл×м/А. Величина μ учитывает влияние среды, в которой возникает магнитное и называется относительной магнитной проницаемостью. μ показывает во сколько раз в данной среде

индукция магнитного поля больше, чем было бы при тех же условиях в

вакууме.

Для модуля индукции магнитного поля можно записать следующую формулу:

магнитное поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до точки наблюдения и существенно зависит от направления на точку наблюдения. В частности, электрический ток не создает магнитного поля в точках, лежащих на прямой, совпадающей с направлением тока (a=0).

Кроме индукции для описания магнитного поля используют

напряженность магнитного поля H, в изотропной среде связанную с индукцией по формуле:

B = mm0 H .

На напряженность магнитного поля не оказывает влияния окружающая среда. Она определяется только макроскопическими токами.

Магнитное поле в центре кругового витка с током

Применим закон Био – Савара – Лапласа для расчета магнитного поля в центре кругового тока. Дано: радиус витка равен R, ток в нем – I .

Разделим виток на большое число N кусков. При очень большом числе N каждый элемент тока практически совпадает с направлением касательной к окружности. Проведем из каждого элемента тока, с номером i радиус вектор

R

ri в точку наблюдения (в центр окружности). Очевидно, что все радиусы перпендикулярны направлению тока в соответствующем элементе (αi = π / 2).

Нетрудно убедиться, что все элементы тока создают одинаково направленное магнитное поле в центре витка – перпендикулярное плоскости витка. В этом случае модуль результирующего магнитного поля можно найти как сумму модулей полей, создаваемых каждым витком:

первых, что расстояния от всех элементов тока до точки наблюдения равны радиусу кольца и, во-вторых, что сумма длин всех элементов тока, на которые мы разбили кольцо равна длине окружности. При выводе этой формулы мы избегали интегрирования. Однако в других случаях расчета полей с