8776

161

Отсюда следует, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде входного сигнала (это вполне естественно), но и

существенным образом зависит от его частоты. Эта зависимость не монотонна и имеет максимум на частоте

которую называют резонансной частотой (при малом затухании она близка к частоте собственных колебаний) Зависимость амплитуды от частоты (корень квадратный из выражения (29) ) называют резонансной кривой. При этом максимальная (или резонансная) амплитуда определяется выражением

(напомним, что Q = ω 0 / 2β - добротность колебательной системы). Отсюда ясно, что добротность показывает во сколько раз резонансная амплитуда превосходит амплитуду внешней «силы». Чем меньше затухание β , или больше добротность, тем сильнее выражен максимуму на резонансной кривой и тем она острее (см. рис.7).

Рис.7.

Резонансные кривые. Для приведенных графиков β 1 < β 2 < β 3 .

Резонанс, как свойство системы достаточно сильно “ откликаться” на внешнее воздействие определенной частоты, имеет место для любых колебательных систем. Для механических колебаний это явление, как правило, нежелательное. Например, толчки, вызванные неровностями дороги, действуя на пружинную подвеску транспортного средства с частотой, близкой к резонансной, могут привести к сильной тряске и другим неприятностям.

С другой стороны, любые радиоприёмные устройства используют это свойство для выделения нужных сигналов из всех других (например,

162

перестраивая радиоприемник или телевизионные каналы вы меняете резонансные частоты определенных колебательных контуров, настраивая их на частоту нужной программы).

9. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ, БИЕНИЯ.

Возможны ситуации, когда в системе присутствуют одновременно два или несколько колебаний. Например, в антенне радиоприёмного устройства присутствует огромное число различных сигналов. Они могут иметь различные частоты и амплитуды, причем реальные сигналы, несущие информацию, в действительности не являются гармоническими, а имеют сложный спектральный состав (т.е. сами состоят из много гармоник). Задача сложения таких колебаний состоящая в том, чтобы найти результирующий сигнал, или, для механических систем, их результирующее движение весьма сложна.

Рассмотрим сначала сложение колебаний одинаковой частоты, имеющих одинаковое направление в пространстве. Пусть имеет два колебания

x1 (t ) = A1 sin(ωt + φ 1 ) , x2 (t ) = A2 sin(ωt + φ 2 ) ,

частоты которых совпадают, а амплитуды и фазы могут быть любыми. Можно показать, что их сумма x = x1 + x2 будет гармоническим колебанием той же частоты, амплитуда и фаза которого зависят от амплитуд и фаз слагаемых.

Дело в том, что колебания одинаковых частот складываются по закону

сложения векторных величин. Представим себе вектор A , который вращается вокруг начала координат с угловой скоростью ω . При этом, если текущее значение его угла относительно горизонтальной оси x равно

Φ(t ) =ωt +φ ,

где φ - начальное значение, то проекция его на ось x равна

Ax = x (t ) = A cosΦ (t ) = A cos(ωt + φ ) ,

т.е. изменяется по закону гармонических колебаний. (Проекция на ось y - y(t)

пропорциональна синусу того же аргумента). Если имеется два таких вектора, то при сложении, очевидно, их проекции суммируются. Это значит, что нахождение амплитуды результирующего колебания эквивалентно нахождению длины суммарного вектора. (см. рис. 8).

163

Рис. 8. Сложение векторов A = A1 + A2 , или векторная диаграмма для сложения колебаний.

Она представляет собой диагональ параллелограмма, стороны которого есть складываемые векторы и определяется формулой

амплитуда существенно зависит от разности фаз колебаний: максимальное её значение

164

Рис. 9.

Сложение гармонических колебаний. Кривые 1, 2 - складываемые колебания, 3 - их сумма. Верхняя

картинка для разности фаз φ = π / 2 , средняя - для φ = 0 (синфазные колебания), нижняя - для

φ = π (противофазные колебания).

Сложение колебаний одинаковых частот иллюстрирует рис.9. Заметим, что при равенстве амплитуд противофазные колебания полностью «гасят» друг друга.

Предположим теперь, что частоты складываемых колебаний не равны, но их разность достаточно мала, т.е.

Произведение ω t в силу условия (33) можно рассматривать, как разность фаз этих колебаний, которая достаточно медленно растет со временем. Поэтому для амплитуды результирующего колебания можно использовать формулу (32) с заменой

φ 2 − φ 1 = ω t ,

тогда

A2 = 2a2 (1+ cos ( ω t)) = a2 cos2 ( ωt / 2) ,

Таким образом, результирующая амплитуда медленно меняется со временем по закону

Само колебание x(t) уже не будет гармоническим; оно представляет собой произведение этой амплитуды на гармоническую функцию 85 cos (ω t ) . Такие колебания называются биениями (см. рис. 10).

165

Рис. 10.

Сложение колебаний с близкими частотами. Верхняя картинка - осциллограммы складываемых колебаний, нижняя - их сумма.

Период биений обратно пропорционален разности частот слагаемых

z , поэтому период функции (35) определяется формулой (36).

Метод биений используется для нахождения неизвестной частоты сигнала. На вход осциллографа подаётся сигнал неизвестной частоты и сигнал лабораторного генератора, частоту которого можно изменять. Настраивают генератор так, чтобы увидеть картинку биений и далее плавно подстраивают в сторону увеличения их периода. При Tδ → ∞ ω → 0 , и мы, тем самым, настроим свой генератор на частоту неизвестного сигнала.

СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ.

Рассмотрим теперь сложение перпендикулярных гармонических колебаний. В качестве механической модели можно представить груз, закрепленный на двух расположенных перпендикулярно пружинах. Электрические сигналы, подаваемые на входы x и y осциллографа (при выключенной развертке) дают на экране картинку результирующей траектории такого движения. Эта траектория в общем случае весьма сложна; рассмотрим

сначала сложение колебаний одинаковой частоты.

Предположим, что точка участвует в двух колебательных движениях и запишем её координаты в виде

166

Для получения траектории движения точки из этих уравнений нужно

Траектория, описываемая этим уравнением, представляет собой эллипс, повернутый в общем случае на некоторый угол относительно координатных осей.

Рассмотрим характерные частные случаи. Пусть разность фаз колебаний равна π / 2 . Тогда из формулы (40) получаем

Это уравнение эллипса, ориентированного по координатным осям (см. рис. 11,

167

Рис. 11.

Траектории движения при сложении перпендикулярных колебаний равных частот. Для кривой 4 разность фаз π / 4 .

Если частоты складываемых колебаний не равны, то в общем случае результирующая траектория незамкнута (точка постепенно «закрашивает»

прямоугольник со сторонами 2Ax , 2Ay ). Если частоты кратные, т.е.

ω y / ω x = m / n ,

где m и n - целые числа, то получаются замкнутые кривые состоящие из пересекающихся петель, называемые фигурами Лиссажу (см. рис.12).

Рис. 12а - отношения частот 1/2 . Рис.12б - отношение частот 3/2 .

Сложение перпендикулярных электрических колебаний, выполняемое с помощью осциллографа, также используется для нахождения неизвестной частоты сигнала. На вход X осциллографа подаётся исследуемый сигнал, а на вход Y - сигнал лабораторного генератора. Настраивают генератор так, чтобы увидеть на экране эллипс; при этом частоты обоих сигналов совпадут, значит искомая частота определена.

168

Вопросы для самоконтроля и повторения

11.Какое движение называется колебательным? Какие колебания называются свободными, гармоническими, вынужденными?

12.Дайте определение параметров колебательного процесса (амплитуда, фаза, период, частота, циклическая частота).

13.Что называется гармоническим осциллятором? Приведите примеры гармонического осциллятора.

14.Выведите дифференциальное уравнение свободных колебаний пружинного маятника. По каким формулам определяются периоды гармонических колебаний пружинного, физического и математического маятников?

15.Выведите дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний в контуре. По какой формуле определяется период колебаний в контуре с малыми омическими потерями?

16.Какие колебания называются затухающим? Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

17.Что такое логарифмический декремент затухания, добротность системы? В чем заключается физический смысл этих величин?

18.Какие колебания называются вынужденными? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

19.Что называется автоколебаниями? В чем их отличие от вынужденных колебаний? Приведите примеры автоколебательных систем.

20.Что называется резонансом? Запишите выражения для циклической частоты и амплитуды колебаний при резонансе.

21.Что называется переменным электрическим током? Выведите закон Ома для цепи переменного тока. От чего зависят индуктивное и емкостное сопротивления?

22.Каковы характерные признаки резонанса напряжений, резонанса токов? Нарисуйте векторные диаграммы цепей переменного тока в режимах последовательного и параллельного резонанса.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1.Материальная точка совершает гармонические колебания. Период Т = 2 с, амплитуда А = 5 см . Начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки v в момент времени, когда её смещение x = 2.5 см .

Запишем уравнение колебаний

x = A sin(ωt) , ω = 2π / T .

Дифференцируя, находим скорость

v = Aω cos(ωt ) .

Из первого уравнения выразим

sin(ωt) = x / A = 1 / 2 .

169

Подставляя во второе и используя данные задачи, получаем значение скорости v = 2πA / T cos(1 / 2) = 0,136 м/с .

2.Амплитуда колебаний за 1 минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 минуты?

На основании формулы (18), для амплитуды затухающих колебаний запишем

Логарифмируя, находим (учтем, что t2 = 3t1 ):

β t1 = ln( A0 / A1 ) = ln(2) , β t2 = 3β t1 = 3ln(2)

Составив отношение амплитуд, получим

A2 / A0 = e−3ln(2 ) = 2−3 = 1 / 8

Амплитуда уменьшится в 8 раз.

3.Точка участвует в двух колебаниях одинаковой частоты с амплитудами A1 =

3 см, A2 = 4 см. и одинаковыми начальными фазами. Найти амплитуду результирующего колебания, если: а) - колебания в одном направлении; б) - колебания перпендикулярны.

Используя формулу (32), где φ = φ 2 − φ 1 = 0 , для случая а) находим A = A1 + A2 = 7 см. Для случая б), используя формулу (40)

при φ = 0 , приходим к уравнению траектории (40б)

y = A2 x / A1 = 4 / 3 x .

Точка наибольшего отклонения от равновесного состояния (0,0) имеет координаты (3,4), она удалена от состояния равновесия на расстояние, равное

32 + 42 = 5 см. Это и будет результирующая амплитуда A .

Волновые процессы.

2.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, КЛАССИФИКАЦИЯ ВОЛН.

Волновые процессы, или волны окружают нас повсюду: волны на воде - поверхностные волны, звуковые волны, электромагнитные волны (в частности, видимый свет, излучение тепла нагретым телом) — это далеко не

полный перечень волновых процессов. Мы ограничимся весьма кратким рассмотрением этого класса физических явлений.

170

Итак, волной называют колебание какой-то физической величины, распространяющееся в пространстве, т.е. волна это бегущее колебание. Если колебание описывалось функцией одного аргумента - времени, то волна есть функция по крайней мере двух переменных - времени и пространственной координаты (в общем случае всех координат x, y, z ).

Геометрическое место точек пространства, где колебания имеют одинаковую фазу, называется волновой поверхностью, а первая (т.е. наиболее удаленная от источника) волновая поверхность - волновым фронтом. По форме волнового фронта различают плоские, сферические, цилиндрические

волны.

Плоские волны создаются плоским излучателем, имеющим достаточно большие размеры (формально - бесконечной плоскостью). Если такая волна распространяется вдоль оси x, то она описывается функцией двух переменных

p(x;t) .

Сферические волны создаются источником сферической формы. Например, источником таких звуковых волн может служить динамик с

при любой форме источника колебаний. Другими словами, источник колебаний малых размеров излучает сферические волны. Такие волны описываются функцией p(r;t) , где r - расстояние от источника.

Предположим, что источник совершает гармонические колебания частоты ν ( ν = 1 / T = ω / 2π ) , где T - период колебаний, ω - циклическая частота. Расстояние, пробегаемое волной за один период колебания называется длиной волны, т.е.

где c - скорость распространения волны.

По форме распространяющихся колебаний различают гармонические (в оптике их называют монохроматические) и негармонические волны. Последние можно представить суперпозицией гармонических.

По физической природе различают упругие (или звуковые) волны, поверхностные (например, волны на воде), электромагнитные и другие. Естественно, характеристики перечисленных волновых процессов совершенно различны. Они различны и внутри любого одного типа волн; например, различна скорость звука в газах и жидкостях, свойства электромагнитных волн существенно зависят от их частоты. Однако, как и в случае колебаний, в математическом описании волн разных видов много общего.

По направлению колебаний различают волны продольные и поперечные. Для первых направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, для вторых - эти направления взаимно перпендикулярны. Например, звук в газах - это продольные волны, электромагнитные волны - поперечные