8776

142

Поля создаются прямолинейными токами, поэтому

Угол α находим из треугольника DAC по теореме косинусов:

Подставляя числовые значения, получим BA = 3,08 ×10−4 Тл.

Ответ: BA = 3,08 ×10−4 Тл.

Задача 3. Альфа-частица, имеющая скорость 106 м/с, влетела в однородное магнитное поле, индукция которого 0,3 Тл. Скорость α -частицы перпендикулярна направлению линий магнитной индукции. Найти радиус окружности, по которой будет двигаться частица, и период ее обращения.

Дано: v = 106 м / с, B = 0,3Тл, q = 2e = 3,2 ×10−19 Кл, m = 6,64 ×10−27 кг.

Найти: R,T .

Решение

На α -частицу в магнитном поле действует сила Лоренца Fл , перпендикулярная вектору скорости v . Следовательно Fл является центростремительной силой, т.е.

T = 2πR . v

Подставляя числовые данные, получим R = 6 ,92 × 10 −2 м, T = 43,4 × 10 −8 c.

Ответ: R ≈ 7 см, T ≈ 0,4 мкс.

Глава 4. Электромагнитная индукция

144

При обратном процесс, когда магнит начинают отдалять от витка, согласно закону Ленца, возникнет индукционный ток, «старающийся» сохранить прежнюю величину поля. В этом случае виток имеет такое же магнитное поле, как отдаляющийся магнит и между ними возникает сила притяжения, для преодоления которой также необходимо совершать работу. Таким образом, правило Ленца соответствует закону сохранения энергии.

Следует отметить, что любые равновесные физические системы стремятся сохранить положение устойчивого равновесия, а значит противодействуют внешним изменениям, которые стремятся вывести их из этого положения.

§ 24. Вывод выражения для ЭДС индукции для движущихся проводников

Снова вернемся к схеме с движущимся без трения проводником, рассмотренную в § 22. Будем считать, что полное сопротивление цепи равно R, а ЭДС источника ε . Подсчитаем баланс энергии за время Dt перемещения проводника на расстояние Dr .

За это время источник совершает работу, равную ε × I × Dt , в результате этого в сопротивлении выделяется тепло I 2 × R × Dt и совершается работа по перемещению проводника с током в магнитном поле, равная I × DФ :

ε × I × Dt = I 2 × R × Dt + I × DФ .

Выражая из этого соотношения электрический ток, получим:

Это соотношение имеет вид закона Ома для неразветвленной замкнутой цепи, но к ЭДС источника имеется добавка (ЭДС индукции), соответствующая закону Фарадея. Это означает, что в случае движущихся проводников закон Фарадея можно было получить аналитически, без всяких экспериментов. Отметим также, что согласно полученной формуле, ток в цепи будет отличным от нуля и без постоянного источника, однако в этом случае двигать проводник придется «руками».

146

вихревым, а не потенциальным как обычное поле электрических зарядов, циркуляция которого всегда равна нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу о необходимости возникновения особого вихревого электрического поля, не связанного с наличием электрических зарядов. Это поле должно возникать при изменении магнитного потока через площадь кольца, и его циркуляция должна давать ту же ЭДС индукции, что закон Фарадея. Следовательно должно выполнятся равенство:

С другой стороны законы природы, конечно не должны зависеть от формы контура, который мы поместили в магнитное поле. Более того, если быть последовательным, приходится признать, что возникновение вихревого электрического поля не должно также зависеть от наличия или отсутствия в этом месте проводника.

Окончательный вывод можно сформулировать следующим образом: при

всяком изменении магнитного поля со временем, в окружающем

пространстве возникает индукционное вихревое электрическое поле. Если в пространстве присутствует замкнутый проводящий контур, индукционное электрическое поле вызывает в нем индукционный ток.

Пользуясь понятием вихревого электрического поля, закон Фарадея можно сформулировать следующим образом: циркуляция индукционного

электрического поля по произвольному замкнутому контуру равна

скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную данным контуром. Сказанное можно выразить в виде равенства

им поверхность. Это уравнение системы Максвелла, которая позволяет рассчитать электрические и магнитные поля в любых ситуациях. Написанное интегральное соотношение полностью определяет величину и направление вихревого электрического поля. Оно аналогично закону о циркуляции магнитного поля, о котором шла речь ранее:

R

∫ В × dL =∫ j × dS .

L S

Из аналогии уравнений ясно, что силовые линии вихревого электрического поля имеют такое же относительное расположение относительно вызывающего

его магнитного поля, какое имеют линии вектора В, относительно вектора плотности тока.

Например, нам известно, что силовые линии магнитного поля, порождаемого прямолинейным проводником с током, представляют собой окружности, концентрические с осью проводника. Значит силовые линии вихревого электрического поля соленоида (магнитное поле которого имеет прямые силовые линии) имеют вид окружностей, концентрических с осью соленоида. Указанная аналогия иллюстрируется сопоставлением рисунков.

147

dB > 0 dt

Второй рисунок соответствует случаю возрастания магнитного поля в соленоиде.

Следует отметить, что вихревое электрическое поле порождается только переменным во

времени магнитным полем, а магнитное поле вызывается как переменным так и постоянным во времени током. В этом состоит отличие вихревого электрического и магнитного полей.

Вихревые электрические поля вызывают в проводящей среде протекание индукционных токов во всем объеме вещества. Нагрев металла вихревыми токами используется в металлургическом производстве в индукционных плавильных печах. В других случаях принимаются меры, чтобы ослабить нагрев материала, вызванный наличием индукционных токов. По этой причине сердечники трансформатора набирают из отдельных пластин.

§ 26. Явление самоиндукции. Индуктивность

Согласно закону Фарадея, любое изменение магнитного потока через сечение замкнутого контура приводит к возникновению ЭДС индукции в этом контуре. С другой стороны, ток, протекающий по контуру порождает магнитное поле и обуславливает наличие магнитного потока через сечение этого же контура. В этом случае магнитный поток будет изменяться при изменении тока в контуре. Возникающее индукционное электрическое поле, препятствуя, по закону Ленца, изменению тока в контуре. Если сила тока увеличивается, индукционное электрическое поле будет замедлять его нарастание; при уменьшении силы тока оно будет поддерживать ток. Можно сказать, что при изменении силы тока в контуре в нем возникает ЭДС

148

индукции, препятствующая этому изменению. Это явление получило название самоиндукцией.

Магнитный поток, сцепленный с контуром, зависит не только от силы тока в нем, но и от размеров и формы контура, а также от магнитных свойств окружающей среды. Однако во всех случаях он пропорционален силе тока, протекающего в контуре, т.е.

Ф=LI,

где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура, и зависящий только от геометрических свойств контура и магнитных свойств окружающей среды. Подставляя магнитный поток в формулу для ЭДС индукции, получим:

εi = - d (LI ) = -L × dI . dt dt

Последнее соотношение справедливо, если индуктивность контура не меняется. Из приведенной формулы следует, что

соответствующим единицам. В системе СИ за единицу индуктивности принимают индуктивность такого контура, в котором при скорости изменения тока в 1 А за 1 с возникает ЭДС самоиндукции в 1 В. Эту единицу именуют Генри (Гн):

1 Гн=1 ВА× с .

Вычислим индуктивность длинного соленоида. Магнитный поток через сечение контура равен Ф0 = В × S , где S – площадь сечения витка, В – индукция

магнитного поля соленоида. Подставляя известное соотношение, получим Ф0 = μμ0 nI × S . Число витков соленоида N можно выразить через плотность

намотки n, и длину обмотки l: N=nl. Тогда магнитный поток через все витки соленоида будет равен:

Ф = NФ0 = μμ0 n2 I × S × l = μμ0 n2 I ×V , V = S × l - объем соленоида. Теперь нетрудно выразить индуктивность соленоида:

L = Ф = μμ0 n2 ×V . I

§ 27. Энергия магнитного поля

Пусть в контуре с индуктивностью L и течет ток силойI0 . При отключении

источника постоянного тока, ток в цепи исчезает не мгновенно и лампочка, включенная параллельно индуктивности продолжает некоторое время гореть.

149

Откуда берется энергия, выделяющаяся в лампочке после отключения источника? Очевидно, что это энергия WМ магнитного поля, связанного с

контуром. Для ее вычисления достаточно вычислить работу, совершенную током после отключения источника.

За время dt током совершается следующая работа:

dA = ε × I × dt = -I × L dI × dt = -L × I × dI . dt

Здесь мы использовали выражение для ЭДС самоиндукции. Заметим также, что работа положительна, поскольку изменение тока - отрицательно. Полная

Поскольку, как было сказано, работа совершается за счет энергии магнитного поля и поэтому:

Для энергии магнитного поля соленоида, подставляя выражение для

Видим, что энергия магнитного поля соленоида пропорциональна объему соленоида, в котором и сосредоточено это поле. Плотность энергии магнитного поля wМ , т.е. энергия, приходящаяся на единицу объема, равна:

Полученная формула справедлива не только для соленоида, но может использоваться во всех случаях.

Примеры решения задач

Задача 1

Четыре одинаковых положительных заряда расположены в вершинах квадрата со стороной, равной L. Определить силу действующую на каждый заряд.

Решение

Lна рисунке. Из симметрии ясно, что суммарная сила действует по диагонали, в направлении силы F13 .

Задача 2

Элемент с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r, замкнут на внешнее сопротивление R. Наибольшая мощность, выделяющаяся во внешней цепи 9 Вт. При этом в цепи течет ток 3 А. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление элемента.