16) Сложение волн. Принцип суперпозиции. Условие образования максимумов и минимумов при интерференции.

 

 

17) Стоячие волны. Замечание о стоячих волнах в замкнутом пространстве.

Стоячая волна (чёрная) изображена в виде суммы двух волн (красная и синяя), распространяющихся в противоположных направлениях. Красные точки обозначают узлы

Стоя́чая волна́ — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе^[1]; в природе — волны Шумана.

Рассмотрим падающую и отраженную волны в виде:

• y₀ — амплитуда волны,

• —циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,

• k — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как поделённое на длину волны,

• x и t — переменные для обозначения длины и времени.

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y₁ и y₂:

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

Если рассматривать моды и антимоды, то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны.

Волновое уравнение

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера)

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

,

где выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определенной точке струны, стоячая волна возникает автоматически.

_=Acos(t—kx) (40)

 Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние (l-х), и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на , то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

 

_=Acos{t—k[x+2(l—x)]+ } (41)

 

После очевидных упрощений получим:

 

_=Acоs[t—k (2l—х)] (42)

Сложив уравнения (40) для бегущей волны и уравнение (42) для отраженной волны, найдем уравнение стоячей волны (43)

=_+_=Acos(t—kx)— Acos[t—k(2l—x)] (44) 

Воспользовавшись формулой разности косинусов:

  (45)

Найдем

= -2Asink(l—x)sin(t—kl) (46)

 Так как выражение Asink(l—х) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны: