10) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Смещение частицы под действием складыванием колебаний происходит сложным способом.

Траектория точки участвуют на взаимоперпендикулярных колебаниях.

11) Затухающие колебания. Уравнения затухающих колебаний в дифференциальной и интегральной форме, логарифмический декремент затухания.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени

где — сила сопротивления,— сила упругости

, , то есть

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину называют собственной частотой системы,— коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену , получаютхарактеристическое уравнение

Корни которого вычисляются по следующей формуле

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы определяется как (1)(2) где u=u(t). После взятия первой и второй производных (2) и подстановки их в выражение (1) найдем(3)(4)(5)(6) —амплитуда затухающих колебаний, а А₀ — начальная амплитуда. Выражение (5) представлено графики рис. 1 сплошной линией, а (6) — штриховыми линиями. Промежуток времени τ = 1/σ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний становится мешьше в е раз, называется временем релаксации.

Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение называетсядекрементом затухания, а его логарифм (7) —логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы. (8) Из формулы (8) вытекает, что добротность пропорциональна числу колебаний N_e, которые система совершает за время релаксации. Выводы и уравнения, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, можно использовать для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера возьмем пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера возьмем электрический колебательный контур). Логарифмческий декремент затухания задается формулой (7), а добротность колебательного контура (8) (14)

12) Вынужденные колебания. Резонанс.

Вынужденные колебания— колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятораи вынуждающей силы, которая изменяется по закону:.

Резонанс– это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний в какой-либо колебательной системе, наступающее при приближении частоты периодического внешнего воздействия к некоторым значениям, определяемым свойствами самой системы

Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: .

Подставим этот анзацвдифференциальное уравнениеи получим, что :

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением: