- •Введение
- •Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Определение двойного интеграла
- •§2. Замена переменных в двойном интеграле
- •§3. Приложения двойного интеграла
- •1. Вычисление объёма цилиндрического тела
- •2. Масса материальной двумерной пластинки D
- •3. Площадь плоской фигуры
- •4. Координаты центра тяжести плоской пластины D
- •5. Момент инерции плоской пластины относительно координатных осей
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Контрольная работа по разделу «Двойные интегралы»
- •Глава 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Понятие о тройном интеграле
- •§2. Замена переменных в тройном интеграле
- •2. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •§3. Приложения тройных интегралов
- •1. Вычисление объёма тел
- •2. Вычисление массы трехмерной области V
- •Контрольная работа по разделу «Тройные интегралы»
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Глава 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§ 1. Криволинейные интегралы первого рода
- •1. Параметрическое задание дуги АВ
- •§ 3. Формула Остроградского – Грина
- •Глава 4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§3. Поверхностный интеграл второго рода (от вектор-функции)
- •§4. Вычисление поверхностного интеграла второго рода (от вектор-функции)
- •§5. Формула Гаусса – Остроградского
- •Библиографический список
Аналогично поступают и в тех случаях, когда область интегрирования V правильна по х или у.
|
|
|
|
|
Задачи для решения в аудитории |
|
1. |
|
Вычислить тройной интеграл x y z dxdydz по области |
||||
|
|
|
|
|
|
V |
V, ограниченной плоскостями х = 0; х= 1; у = 0; у= 1; z = 0; z = 1. |
||||||
|
|
2. Выч сл ть тройной интеграл 1 y хzdxdydz, если область |
||||
|
|
|
|
|
|
V |
V огран чена плоскостями х = 0; у = 0; z = 0; z 1 х у. |
||||||
С3. хdxdydz, если о ласть V ограничена цилиндром х2 у2 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
V |
z = 0; z = 3. |
|
||
|
|
|
||||
|
|
4. Выч сл ть о ъем тела, ограниченного цилиндрами z 4 у2; |
||||
z у2 2 |
х = 1; х = 2. |
|||||
плоскостями |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
3 |
|
1 |
б |
||
1. |
|
. 2. |
|
|
. 3. 0. 4. V 8. |
|
2 |
|
144 |
|
|
||
|
|
|
|
|
§2. Замена переменных в тройном интеграле |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
1. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической |
||||
|
|
|
|
|
системе координат |
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
И |
Один из способов замены переменных при вычислении тройного интеграла – переход в цилиндрическую систему координат. Делать такой переход имеет смысл, когда, например, проекция области интегрирования V на какую-либо из координатных плоскостей проще или удобнее описывается в полярных координатах.
70
z |
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z const |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
r const |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N const |
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x r |
|
|
|
N |
|
|
|
|
x r |
Рис. 61 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Р с. 60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Положен е точки М в пространстве в цилиндрической системе |
||||||||||||||||||
коорд нат определяется |
тремя |
|
числами: z – аппликата точки, |
|||||||||||||||
r, |
– полярные |
|
|
|
|
точки N – ортогональной проекции M |
||||||||||||
координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
на плоскость X0Y(р |
с. 60). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Коорд натными поверхностями цилиндрической системы коор- |
||||||||||||||||||
динат |
являются |
z = |
const |
– плоскость, |
параллельная |
х0у, |
||||||||||||
r = const – цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной |
||||||||||||||||||
оси 0z, и φ = const – плоскость, проходящая через ось 0z под углом φ к |
оси 0x (рис. 61).
Связь между цилиндрическими и декартовыми координатами
При вычислении тройного интеграла в цилиндрических координатах внутренний интеграл, как правило, берётся по переменной z, за-
точек выражается формулами: |
|
|
|
бА |
|
||
x rcos , |
|
|
|
|
|
|
(2.9) |
y rsin ,. |
|
||
|
|
|
|
z z. |
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
И |
тем по r и в последнюю очередь по φ.
Очевидно, что элемент объёмаdV dz rdrd rdzdrd [см.
формулу (1.16)], поэтому формулу перехода от декартовых координат к цилиндрическим можно записать следующим образом:
f (x, y,z)dxdydz f (rcos ,rsin ,z)rdzdrd . |
(2.10) |
|
V |
V |
|
71
|
|
Пример 1. Вычислить массу параболоида x2 y2 2z, |
ограни- |
|||||||||||||||||||||||||
ченного плоскостью |
z 2 |
(рис. 62), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
если плотность распределения массы |
|
|
|
z |
z=2 |
|
||||||||||||||||||||||
задана функцией x,y,z x2 y2. |
|
|
|
2z x2 y2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Согласно формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(2.6), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m x, y,z dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
V |
y2 dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yу |
||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x,y |
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dz dxdy. |
|
|
|
|
|
Рис. 62 |
|
|||||||||||||||
|
|
x,y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|||||||||||||||||||
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
V |
ограничена снизу плоскостью z |
, а |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
2 |
||
сверху плоскостью z 2, то x,y |
; x,y 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
область |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
m |
|
|
|
y2 dz dxdy |
|
dz dxdy |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 |
y2 z|2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
dxdy x2 y2 2 x |
|
|
dxdy |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||
|
|
2 x2 |
|
y2 x |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
dxdy. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Полученный двойной интеграл вычислим в полярной системе |
||||||||||||||||||||||||||
координат. Область V проецируется в область плоскости x0y, ог- |
||||||||||||||||||||||||||||
раниченную окружностью x2 y2 |
4. Последнее уравнение получе- |
|||||||||||||||||||||||||||
но в результате исключения z |
из уравнения плоскости z 2 |
и пара- |
||||||||||||||||||||||||||
болоида 2z x2 |
|
y2 . В полярной системе координат уравнение ок- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
ружности имеет вид rcos 2 |
zsin 2 |
4; |
r2 cos2 sin2 4; |
r2 4; r 2. Значит,в области меняется от 0 до 2 , r от 0 до 2. |
|||
Итак, |
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 x |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
m 2 x2 |
|
|
y |
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
2 |
r |
2 |
sin |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 r2 cos2 r2 sin2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
rdr |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
rdr |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
r |
3 |
|
|
|
|
dr |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z 6 x |
|
|
бАy и конусом z x y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и2 2 2 2 |
|
2r |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
r |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|2 |
|
|
|2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2r |
3 dr |
|
|
|
|
|
r |
5 dr d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
2 6 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 24 |
|
|
26 |
|
|
|
|
|
82 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|
| |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Решение. Так как искомое те- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ло (рис. 63) ограничено снизу кону- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 6 x |
2 |
y |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||
сом |
|
|
z |
|
|
|
x2 y2 , а сверху парабо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
x |
2 |
y |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лоидом |
|
z 6 x |
|
|
y |
|
|
, то, |
подстав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ляя |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
формулу |
|
|
|
|
|
|
(2.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x,y |
x2 y2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x,y 6 x2 y2; |
f x, y,z 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73
получим
|
|
6 x2 y2 |
|
||
V |
|
|
dz |
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
6 x |
2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
dxdy. |
|
|
|||||||||||||
|
z| |
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Полученный двойной интеграл вычисляем в полярной системе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коорд нат. Область |
V |
|
|
проецируется в область плоскости x0y, ог- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
раниченную окружностью x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
СПоследнее |
|
|
|
|
|
|
получается как пересечение параболоида |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 6 x2 |
y2 |
|
конуса z2 x2 |
|
y2. Исключим x2 |
y2 из уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
конуса |
|
|
|
бА |
|
z 6 z2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
подстав м |
|
|
|
|
уравнение параболоида, |
|
получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 z 6 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 3 |
и z2 2. |
||||||||||
|
|
Этому |
уравнен ю |
удовлетворяют |
значения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя z 2 в уравнение конуса z2 |
x2 |
y2, получаем искомое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение окружности x2 y2 |
22, |
или x2 y2 4. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
В полярной системе координат уравнение окружности имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
rcos 2 rsin 2 |
4; |
r2 cos2 sin2 4; |
r2 4, |
r 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Значит, в области |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
меняется от |
0 |
до |
|
2 |
, r от 0 до 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
V 6 rcos |
|
rsin |
|
|
r cos |
|
rsin r dr d = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 r2 |
r2 r dr |
|
|
|
6 r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
r r dr d |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 2 |
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 6r2 |
2 |
|
|
r4 |
2 r3 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r dr |
|
r dr |
|
r dr d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|0 |
|
Иd |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
16 2 |
|
16 |
|
|
|
2 |
32 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
12 4 |
|
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74