1

x

y

2

x

1

2

2

2

2

2

|

x

x

xy|

x

2

2

x

2 dx

x x x

dx

0

0

1

1

1

1

x2 x3 x2 x4 dx 2 x2dx x3dx x4dx

0

0

0

0

x3 1

x3

1

x5 1

2 1 1 2

2

|

|

|

.

3

0

3

0

5

0

3

3

5

15

С

3. Площадь плоской фигуры

Если в формуле для вычисления массы материальной двумерной

пластинки

D замен ть плотность на единицу,

то получим формулу

для выч слен я

плоской

D

площади

S dxdy.

D

Примеробласти5. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной

линиями х=0; у=5; у=х2+1 (рис. 28).

y

Решение.

y=5

5

0

5

0

5

S dxdy

А

dx

dy

y

dx

σ

x=0

2

x2 1

2

x2 1

0

4

4x x

3

0

2

1

x

2 dx

y=x +1

3

Дx

2

2

( 2)3

16

-2

0

0

.

4( 2)

3

3

Рис. 28

Пример 6. Вычислить площадь плоской фигуры (рис. 29), огра-

ниченной линиями – дугами окружностей

И

Решение. Так

как

область интегрирования

является

кольцо

x2 y2

9м с центром в точке О(0;0)

(рис. 29), то введём полярные

координаты.

Тогда уравнения окружностей примут вид

rcos 2 rsin 2 9;

r2 cos2 sin2 9; r2 9;

r 3; rcos 2

rsin 2

1;

r2 cos2 sin2 1;

r2 1;

r 1.

С

Проведя

лучи, исходящие

из полюса (начала координат),

увидим, что для них r 1 – ли-

ния входа, а r 3 – линия выхо-

и

да, следовательно, r изменяется

Р с. 29

в границах 1 r 3.

Тогда по формуле (3.16) получаем

2 3

2 r

2

3

12

2

2

S dxdy rdr d

d

2

9 1 d 4 d 4 |0

8 .

0 1

0 2

1

0

0

4. Координаты центра тяжести плоской пластины D

бА

Пусть (x; y)

– плотность материальной двумерной пластинки

D , тогда координаты её центра тяжести вычисляются по формулам

x (x; y)dxdy

y (x; y)dxdy

Д

xc

;

yc

.

(1. 21)

(x; y)dxdy

(x; y)dxdy

Пусть (x; y)

– плотность материальной двумерной пластинки

D , тогда её моменты инерции относительно координатных осей и на-

С

чала координат вычисляют по формулам

Iox y2 (x; y)dxdy;Ioy x2 (x; y)dxdy;

2

у2 (x; y)dxdy.

(1.22)

и

Io

x

r acos

Пример 8. Вычислить мо-

у

менты

инерции относительно

у

точки границы однородного кру-

га и его диаметра, если радиус

круга R

а

, а вес Р.

2

Решение. Поместим начало

а

хх

координат в точке, лежащей на

2

границе круга, а центр круга – в

a

точке C

;0

(рис. 31).

Д

2

бАТогда задача сведется к на-

Рис. 31

хождению

моментов

инерции

относительно начала

координат

и оси 0х.

И

Введем полярные координаты. Уравнение окружности в поляр-

ных координатах примет вид

rcos 2

rsin 2

arcos ;

r2 cos2 r2 sin2 arcos ;

r2 cos2 sin2 arcos ;

r2 1 arcos или окончательно имеем

r acos .

С

той четвертях, т.е.

2

. По формуле (1.22), с учётом того, что

2

плотность круга равна постоянному числу , получим