3.

2

x2

3

4

1

y

2

1

dx f (x; y)dy dx f (x; y)dy . 4.

dy f (x; y)dx dy f (x; y)dx .

0

0

2

0

0

y

1

y

2

2

5.

320

. 6.

24. 7.

33

.

8.

.

С

2

3

140

§2. Замена переменных в двойном интеграле

выч слен

двойных интегралов иногда бывает полезно

При

сделать замену переменных. Пусть

u u u,v ;

(1.12)

v v u,v

бА

– функц

, определенные на всей плоскости x0y

или в некоторой ее

области

меющ е непрерывные частные производные в области

сти x0y, в которой введены криволинейные координаты u,

v, то

справедлива следующая формулаД:

f x, y dxdy

f x u,v , y u,v

J u,v

dudv,

(1.14)

И

x

x

x

y

x

y

J u,v

u

v

.

y

y

u v

v u

u

v

x rcos ;

(1.15)

y rsin .

истема (1.15) осуществляет переход от прямоугольных коор-

динат x y к полярным координатам r и при условии,

что полюс

кривой помещен в начале координат и полярная ось направлена вдоль

оси 0x (р с. 14). В этом случае

J

r формула (1.14) принимает вид

у

у

х

Рис. 13

Рис.14

х

f x, y dxdy f rcos ,rsin rd dr.

Если область

ограничена лучами, образующими с полярной

осью углы

1

2

1 2 , кривыми

r r1 и

r r2

r1 r2

(см. рис. 14), то соответствующие этой области поляр-

ные координаты изменяются в пределах

СибАДИ

1;r1 r r2

2

и тогда

2

r2

(1.16)

f x, y dxdy d

f rcos ,rsin rdr.

1

r1

2

r

f x, y dxdy d

f rcos ,rsin r dr,

(1.17)

0

0

где

r r полярное уравнение кривой,

ограничивающее область

(рис. 15).

Формулы (1.16) (1.17) очень удобно использовать при реше-

нии задач, когда область есть круг или сектор круга.

С

у

у

и

х

х

бАРис. 15 Рис. 16

1 x2 y2 dxdy,

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

если область ограничена окружностью x

2 y2

1 (рис. 16).

Д

Решение. Область есть круг радиусом 1 с центрами в начале

координат. Введем полярные координаты.

В полярных координатах

уравнение окружности

примет

вид

И

rcos 2

rsin 2 1,

или

r2 cos2 r2 sin2 1 [см. формулы (1.15)], т.е. r2

1 или r 1.

Тогда по формуле (1.17) получаем

2 1

1 rcos 2

1 x2 y2 dxdy

rsin 2rdr d

0 0

2

1

2

1

1 r

1

1

2 0

1

2

2

2

1 r

rdr d

2

t

dt d

rdr d

2

0 0

0 0

0

1

1

1

1

2 2

1

2

12 t2

0

12

0

1

2

| d

d

d

|0

.

С

2 0 1.5

1.5

2

3 0

3

3

2

0 1

1

1

2

1

1

Замечан е. Интеграл

1 r2

2

rdr

взят методом замены пере-

и

менной. Полож м 1 r2

0

t. При r

0

получим t 1, а при r 1 t 0

. Изменен ю переменой r

от r 0 до r 1 соответствует изменение

переменной t от t

1 до t

0.

d 1 r2 dt,

или 2rdr dt ,

откуда

dr

dt

. Подставляя полученные выражения в интеграл, получим

2r

1

1

1

0

1 r2

2

r dr

1

t2 dt .

у

y

3x

0

2

1

Пример 2. Вычислить двойной

у=х

интеграл

4 x2

y2 dxdy,

если об-

2

Д2

ласть

ограничена

х

линиями: дугой

2

2

окружностибx y 4 Аи прямыми

y x; y

3

x

x 0 (рис. 17).

Решение. Введем полярные коор-

динаты.

Тогда

уравнение

окружности

Рис. 17

примет

вид

rcos

rsin

4;

r2 cos2 sin2 4; r2

4;

r 2.

Проведя лучи, исходящие из полюса, увидим, что для них r 0

– линия входа, а r 2 – линия выхода, следовательно,

r изменяется в

границах

И

rsin

rcos ;

sin

; tg

;

.

3

3

3

cos

3

Значит, угол между прямой y

x и осью 0x(полярной осью)

3

равен

. Найдем угол между прямой y x

и осью 0x. В полярных

СибАДИ

3

координатах данное уравнение примет вид

rsin rcos ;

sin

1;

tg 1;

.

cos

4

Так м образом, получим пределы изменения угла от

до

.

По формуле (1.16)

меем

4

6

4 x2 y2

3

2

4 rcos 2

dxdy

rsin 2 rdr d

0

4

3 2

3

1 2

1

4 r2 rdr

d

4 r2 2 d 4 r2 d

0

20

4

4

4 r

2

1

1