- •Введение
- •Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Определение двойного интеграла
- •§2. Замена переменных в двойном интеграле
- •§3. Приложения двойного интеграла
- •1. Вычисление объёма цилиндрического тела
- •2. Масса материальной двумерной пластинки D
- •3. Площадь плоской фигуры
- •4. Координаты центра тяжести плоской пластины D
- •5. Момент инерции плоской пластины относительно координатных осей
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Контрольная работа по разделу «Двойные интегралы»
- •Глава 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Понятие о тройном интеграле
- •§2. Замена переменных в тройном интеграле
- •2. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •§3. Приложения тройных интегралов
- •1. Вычисление объёма тел
- •2. Вычисление массы трехмерной области V
- •Контрольная работа по разделу «Тройные интегралы»
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Глава 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§ 1. Криволинейные интегралы первого рода
- •1. Параметрическое задание дуги АВ
- •§ 3. Формула Остроградского – Грина
- •Глава 4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§3. Поверхностный интеграл второго рода (от вектор-функции)
- •§4. Вычисление поверхностного интеграла второго рода (от вектор-функции)
- •§5. Формула Гаусса – Остроградского
- •Библиографический список
Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|||||
§1. Определение двойного интеграла |
|
|
|
|||||
y |
|
Рассмотрим задачу о нахождении |
||||||
σσ |
массы |
материальной двумерной |
пла- |
|||||
|
|
стинки |
, если |
известна |
плотность |
|||
|
|
(x;y) в каждой |
ее точке. |
Разделим |
||||
|
|
данную область произвольным образом |
||||||
|
σi |
на n частей (рис. 1) P(x; y). В каждой |
||||||
Pi |
σi |
элементарной |
части i |
выберем по |
||||
С |
x |
одной точке Ρi i;ni и вычислим плот- |
||||||
|
|
ность i;ni |
в точке Ρi . |
Тогда масса |
||||
Р с. 1 |
|
элементарной |
пластинки |
части |
i |
|||
ипри лиженно будет равна i;ni i. |
||||||||
Для массы всей пластинки получаем |
|
|
|
|
|
|||
|
m i;ni i . |
|
|
|
(1.1) |
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Приближение (1.1) удет тем точнее, чем мельче будет разбие- |
||||||||
ние области на элементарные части, т.е. чем меньше будет наи- |
||||||||
большее расстояние между произвольными точками любой элемен- |
||||||||
бА |
|
|
|
|||||
тарной области i |
. Следовательно, можно принять, что |
|
|
|
||||
|
m lim i;ni i , |
|
|
|
(1.2) |
|||
|
|
0 i |
|
|
|
|
|
|
где наибольший из диаметровДэлементарных частей (диаметр |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i – это наибольшее расстояние между произвольными ее точками). |
||||||||
Необходимость рассмотрения выражения вида (1.1) и предела |
||||||||
(1.2) возникает при решении многих других физических и геометри- |
||||||||
ческих задач. В связи с этим дается следующее определение. Пусть |
||||||||
|
|
|
|
И |
||||
функция f x; y определена в некоторой области . Делим область |
||||||||
на n элементарных частей i . В каждой части i |
выбираем по |
|||||||
одной точке Ρi i;ni и составляем выражение |
|
|
|
|
||||
|
Sn |
f i;ni i . |
|
|
|
(1.3) |
||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Определение 1. Выражение вида (1.3) называется интегральной суммой для функции f x; y в области .
Обозначим через наибольший из диаметров элементарных областей i при разбиении области .
|
Определение 2. Если существует предел |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
S lim f i;ni i |
, |
|
|
(1.4) |
|||
|
|
|
|
0 i |
|
|
|
|
|
|
который не зав с т |
от способа деления области |
на части i и |
||||||||
выбора точек Ρi i;ni , то этот предел называется двойным интегра- |
||||||||||
С |
|
ласти и обозначается f |
x;y d , или |
|||||||
лом от функц |
f x; y по |
|||||||||
f x; y dxdy. |
|
f x; y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
называется подынтегральной функцией; |
|||||||||
|
– областью |
нтегр |
; x и y – переменными интегрирова- |
|||||||
|
||||||||||
рования |
|
|
|
|
|
|
||||
ния; d ( ли dxdy) – элементом площади. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Так м |
, по определению, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f x;y dxdy lim f |
;n |
|
i |
. |
(1.5) |
||
|
образом |
i |
i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 i |
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
f x;y называется интегрируемой в области . Вся- |
||||||||
кая непрерывная в |
ограниченной замкнутой |
области |
функции |
|||||||
|
|
|
А |
|
|
|
||||
f x;y интегрируется в ней. В дальнейшем мы ограничимся рас- |
||||||||||
|
|
|
|
Д |
смотрением только непрерывных функций.
Двойной интеграл обладает следующими простейшими свойст-
вами [1]: |
|
|
И |
|||
|
|
|
|
|
||
1. |
f x; y dxdy C f x; y dxdy . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f2 x; y dxdy. |
2. |
f1 x; y f2 x; y dxdy f1 x; y dxdy |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3. Если область состоит из двух областей 1 |
и 2 , то |
|||||
|
f x; y dxdy |
f1 x; y dxdy |
f2 x; y dxdy. |
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
5
4. Если функции f (x; y) и g(x; y) интегрируемы на ограниченной области и f (x; y) g(x; y) для всех (x, y) , то
f (x; y)dxdy g(x; y)dxdy.
ледствие. Если m f (x; y) M для всех (x, y) , то
m f x; y dxdy M .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Теорема о среднем. Пусть – связная ограниченная область |
|||||||||||||
С |
непрерывна на замыкании области . То- |
||||||||||||||
и пусть функц я f (x, y) |
|||||||||||||||
гда существует точка ; , для которой выполнено равенство |
|||||||||||||||
|
|
|
|
f x; y dxdy f ; |
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
у |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
х |
у |
|
||||||||
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
||||
|
|
Область на плоскости x0y назовем простой областью: |
|||||||||||||
|
|
1) относительно оси 0x, если она ограничена сверху линией |
|||||||||||||
y x , снизу y x [функции (x) и |
Иx непрерывны] и с бо- |
ков отрезками прямых x a и x b (рис. 2); в частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку (рис. 3);
2) относительно оси |
0y , если она ограничена слева линией |
x 1 y , справа x 1 y |
[функции 1 y и 1 y непрерывны] и |
сверху и снизу отрезками прямых y d и y c (рис. 3, 4).
6
Теперь перейдем к непосредственному вычислению двойного интеграла. Для этого снова рассмотрим задачу о нахождении массы материальной двумерной пластинки .
|
у |
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
х |
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
х |
|
|
|
бА |
|
|||||||
|
|
Р с. 4 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
Пусть матер альная |
о ласть |
|
ограничена снизу |
кривой |
||||
|
y x , сверху – кр |
вой y x , с боков – прямыми x a |
и x b |
|||||||
(рис. 5), т.е. является простой о ластью вида 1 относительно оси 0x. |
||||||||||
Пусть далее функция |
f x;y выражает плотность (т.е. «концентра- |
|||||||||
цию массы») в точке x;y . Для некоторого x значения выделим ма- |
||||||||||
териальный отрезок от точки x; x |
до точки x; x и вычислим |
|||||||||
массу m x , сконцентрированную на этом отрезке, по формуле |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Д |
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
m x f x;y dy . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Далее, спроектируем нашу материальную пластинку на ось 0x, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||
получим материальный отрезок a;b , плотность которого в каждой |
||||||||||
точке x будет выражаться функцией m x . Следовательно, масса это- |
||||||||||
го отрезка и всей области будет |
|
|
|
|
||||||
|
|
b |
b x |
|
b |
x |
|
|||
|
|
m m x dx |
|
|
f x; y dy |
|
|
|
(1.6) |
|
|
|
|
dx dx f x; y dy. |
|||||||
|
|
a |
a x |
|
a |
x |
|
С другой стороны, выше было доказано
m lim f i;ni i f x;y dxdy.
7
|
|
Таким образом, для вычисления двойного интеграла от функции |
|||||||||||||
f x;y |
по области получим следующую формулу, |
сводящую ее |
|||||||||||||
вычисление к повторному интегралу: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
b x |
|
|
|
|
b x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.7) |
|
|
|
f x;y dxdy |
f x;y dy dx dx f x;y dy. |
|
||||||||||
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|||
С |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что в случае вы- |
||||||||
|
|
|
|
числения объема цилиндрических |
|||||||||||
|
|
|
|
тел |
интеграл |
x |
|
|
дает |
||||||
|
|
|
|
f x;y dy |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
площадь S x поперечного сече- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ния нашего тела (рис. 6), следова- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно, весь объем V будет |
|
|
|||||
и b |
|
b x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
S x dx |
|
x;y dy |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
x |
|
|
1.8 |
||
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
|
dx f x;y dy. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же область есть про- |
|||||
стая область вида 2, то всякая прямая, параллельная оси 0x и прохо- |
|||||||||||||||
дящая |
внутри отрезка |
a;b , пересекает |
границу в |
двух точках: |
|||||||||||
|
1 |
y ;y ибАy ; y (рис. 7). интеграл по такой области вы- |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
1 y |
|
|
|
|
(1.9) |
|
|
|
|
f x; y dxdy dy |
|
f x; y dx . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
1 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двойной |
|
|||||||||
|
|
Наиболее простой вид формулы (1.8) и (1.9) принимают в случае |
|||||||||||||
прямоугольной области |
, |
|
ограниченной |
прямыми |
x a; |
|
x b; |
||||||||
y c; |
y d (рис. 8): |
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||
|
|
|
f x; y dxdy |
|
d |
|
b |
|
|||||||
|
|
|
dy f x; y dx . |
|
|
|
(1.10) |
c a
8
у у |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
у |
|
|
|
|
|
СР с. 7 |
|
хх |
|
|
|
|
|
|
хх |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|||||||
|
|
ледует замет ть, |
что если |
|
не является простой об- |
||||||||||
ластью, то ее раз |
вают на конечное число простых областей 1, 2 , |
||||||||||||||
…,привыч слен и двойного интеграла по области исполь- |
|||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зуют третье свойство двойного интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Пример 1. Изменить поря- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
док интегрирования в интеграле |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
область |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
2х |
|
|
|
|
y |
|
|
y 2x |
|
||
|
|
|
dх f x; y dу . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
х2 |
|
А |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Решение. Обратим внима- |
|
|
|
y x |
|
|
|||||||
ние на то, что задан не двойной, а |
2 |
B |
|
|
|
|
|||||||||
повторный |
интеграл, |
порядок |
|
|
|
|
|||||||||
1 |
A |
|
|
|
|
||||||||||
интегрирования |
в |
котором |
уже |
|
|
|
|
||||||||
определен, |
из чего |
следует, что |
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
||||||
y x |
– |
уравнение линии, |
огра- |
0 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ничивающей область σ снизу, а |
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|||||||||
y 2x |
уравнение |
линии, |
огра- |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ничивающей область σ сверху, а x 0,1 . Зная это, можно восстано- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||
вить пока неизвестную область интегрирования |
(рис. 9). |
|
|||||||||||||
|
|
По условию, нужно изменить порядок интегрирования, то есть |
|||||||||||||
вычислить внутренний интеграл по dx, а внешний – по dy. Чтобы не |
|||||||||||||||
ошибиться, расставляя новые пределы интегрирования, надо провести |
|||||||||||||||
вспомогательные линии. В этом случае они должны пересекать об- |
|||||||||||||||
ласть параллельно оси 0X .Для таких прямых, как видно из рис. 9, од- |
9
на линия входа в область и две линии выхода, поэтому двойной интеграл сведется не к одному, а к двум повторным интегралам (в соответствии со свойством аддитивности двойного интеграла 3). Таким образом, область интегрирования не принадлежит ко второму типу, т.к. справа ограничена двумя различными линиями x=1 и
х |
|
|
( у х2 ), а слева однойх |
у |
( у 2х). |
|
||||||||||||
|
у |
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
СибАДИ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Найдемкоорд натыточекпересечениялиний,ограничивающих : |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у х2 |
А 1,1 ; |
|
|
у 2х |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 1 |
|
|
В 1,2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 1 |
|
|||
|
|
Поэтому прямой y=1 раз иваем ее на две области второго типа: |
||||||||||||||||
1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx f (x; y)dy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy |
||||||||||||||||
|
0 |
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
у |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
dy |
f (x; y)dx dy f (x; y)dx. |
|
(1.11) |
|||||||||||||
|
0 |
|
у |
|
|
|
1 |
у |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
при вычислении двойного интеграла по данной |
|||||||||||||||
области |
(см. рис. 9) первоначальный порядок интегрирования яв- |
|||||||||||||||||
ляется более оптимальным, приводит к одному повторному интегра- |
||||||||||||||||||
лу. |
|
Заметим, что обе части равенства (1.11) соответствуют одному |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
двойному интегралу, хотя в правой части формулы (1.11) – два по- |
||||||||||||||||||
вторных интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пример 2. Изменить порядок интегрирования в интеграле |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
y |
5 |
||
|
|
|
|
|
dx |
|
f (x; y)dy. |
|
|
0 0
Решение. По заданным четырем пределам интегрирования записываем уравнения четырех линий, ограничивающих область интегрирования :
x=0; x=2; y=0; y 1 х2 . Строим эти
y х2 1
σ1
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
σ2 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
02
Рис. 10
10
линии. Разрешаем уравнение дуги гиперболы y 1 х2 относитель-
но абсциссы x y2 1. Чтобы не ошибиться, расставляя новые пределы интегрирования, надо провести вспомогательные линии. В этом случае они должны пересекать область параллельно оси 0Х. Для таких
прямых, как видно из рис. 10, две линии входа в область и одна линия |
||||||||
СибАДИ |
||||||||
выхода, поэтому двойной интеграл сведется не к одному, а к двум по- |
||||||||
вторным |
нтегралам (в соответствии со свойством аддитивности |
|||||||
двойного |
нтеграла 3). Таким образом, область интегрирования не |
|||||||
принадлеж т ко второму типу, т.к. слева ограничена двумя различ- |
||||||||
ными л н ями x=0 |
y |
1 х2 |
. Поэтому прямой y=1 разбиваем ее |
|||||
на две области второго типа: 1 и 2 . Тогда |
|
|||||||
2 |
1 х2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
f (x;y)dy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy f (x;y)dxdy |
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
||
1 |
2 |
|
|
5 |
|
2 |
|
|
dy f (x; y)dx |
dy |
f (x; y)dx. |
|
|||||
0 |
0 |
|
1 |
|
y2 1 |
|
На основании рассмотренных выше примеров можно выделить основные этапы при решении таких задач:
1.1. Для изменения порядка интегрирования в повторном интеграле вначале нужно восстановить область, на которую распространен этот интеграл, перейти к двойному интегралу, затем от двойного перейти к одному или нескольким повторным интегралам с другим порядком интегрирования.
1.2. Для восстановления области интегрирования, на которую распространен повторный интеграл, поступают следующим образом. Если задан интеграл
b x
dx f x;y dy,
a x
то сначала строят вертикальные прямые х=а; х=b. Затем по пределам внутреннего интеграла x и x записывают уравнения нижней и верхней границ области интегрирования: y x ;y x . Строят эти линии до пересечения с прямыми х=а и х=b. Построенные линии ограничивают область интегрирования для двойного интеграла. Для интеграла
11
|
|
d |
1 y |
|
|
|
|
dy |
f x; y dx |
||
|
|
c 1 y |
|
||
строят сначала горизонтальные прямые у=с; y=d, а затем по пределам |
|||||
интегрирования интеграла 1 у |
и 1 у находят уравнения левой и |
||||
правой границ области х 1 у |
и х 1 у и строят линии, опреде- |
||||
ляемые этими уравнениями. Построенные линии ограничивают об- |
|||||
ласть |
нтегр рован я. Если две области интегрирования имеют об- |
||||
щую гран цу, то х можно объединить в одну область и интегрирова- |
|||||
писывают |
|
|
|
||
ние вести по этой области. |
|
|
|
||
С1.3. Полученную о ласть в случае необходимости разбивают на |
|||||
части так, чтобы они |
ыли правильны по соответствующей перемен- |
||||
ной, |
способом |
|
|||
уравнен я каждой границы любой части можно было описать |
|||||
одной формулой. Затем для каждой части области интегрирования за- |
|||||
|
повторный |
нтеграл |
|
, указанным ниже. |
|
|
1.4. В случае, если внешний интеграл берется по переменной х, а |
||||
внутренн й – по переменной у, |
ласть интегрирования проецируют |
||||
|
А |
на ось 0х; при этом левый и правый концы полученного отрезка дадут соответственно нижний и верхний пределы интегрирования по х. За-
тем мысленно проводят прямые, параллельные оси 0у через точки области интегрирования. Линия, через которую эти прямые входят в область интегрирования, будет нижней границей области, а через которую выходят - верхней границей. Уравнения этих границ представляют соответственно в виде y x ; y x . Тогда x и x – соответственнонижнийиверхнийпределыинтегрированияпообласти .
уравнениями границ области интегрированияД. Потому, как правило, чем проще уравнения границ, тем проще вычисления интегралов. В разных системах координат уравнение
Пределы интегрирования в повторном интеграле определяются
одной и той же линии имеет различный |
|
|
|
||
у |
|
|
|||
вид. |
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить двойной ин- |
|
|
|
||
|
И |
||||
теграл |
x |
dxdy, если область ограничена |
|
||
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
параболами y x2 и x y2 (рис. 11). Решение. Область (см. рис. 11)
– простая (вида 1). Она ограничена снизу
х
Рис. 11
12
кривой x x2, сверху – кривой x y2, т.е. y x или x x2 (перед радикалом ставим только знак «+», так как область нахо-
дится в I квадранте, |
где y 0); при любом фиксированном значении |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x из отрезка 0;1 |
y |
меняется от |
|
y x2 |
до y |
|
|
|
|
. Поэтому по фор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
муле (1.9) при f x; y |
|
x |
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
СибАДИ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
0 x2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
x ln |
|
x ln x2 dx x |
2 |
|
ln x 2lnx |
dx x |
|
|
|
|
ln xdx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
xln xdx |
2 |
|
|
|
|
x |
|
lnx| |
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 1 |
3 1 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 ln1 |
|
|
xdx |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 0 |
4 2 8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Замечание. Интеграл xlnxdx взят методом интегрирования по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частям, причем при подстановке нижнего предела использовался тот |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
факт, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
limx2 lnx lim |
lim |
|
lnx |
|
lim |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 1 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
limx2 1 0 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 2x |
|
|
|
|
|
2 x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Вычислить двойной |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграл |
|
x |
dxdy, |
если область ог- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раничена |
|
слева |
кривойx 2 sin y, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справа |
– |
прямой |
x 0 |
и с |
боков – |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямыми y 0; |
y 2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Область |
|
(рис. 12) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является простой (вида 2). При любом |
|
|
фиксированном y из отрезка 0;2 |
x |
|
х |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12 |
|
|
13
меняется от x 0 до x 2 sin y. Поэтому по формуле (1.9) имеем
|
x |
|
2 2 siny x |
|
2 x2 2 siny |
|
2 2 siny 2 |
||||||||
|
|
|
dxdy |
|
|
|
|
dx dy |
|
|
| |
dy |
|
|
dy |
2 |
2 |
|
4 |
||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
4 0 |
|
0 |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 cos2y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 4 4sin y sin2 y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
dy |
1 sin y |
4 2 |
dy |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
cos2y |
|
|
|
92 |
2 |
|
|
|
12 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
dy |
|
|
|
dy |
sin ydy |
|
|
|
cos2ydy |
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
8 |
sin y |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
8 0 |
0 |
|
|
8 0 |
||||||||||||||
|
9 |
y|2 |
cosy |
|2 |
|
1 |
sin t|4 |
9 |
2 0 cos2 cos0 |
|||||||||||||||||||
|
8 |
бА1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
16 |
|
|
0 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
sin4 sin0 |
9 |
2 1 1 |
1 |
0 0 |
9 |
. |
||||||||||||||||||||
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
|
|
16 |
|
|
4 |
|
|
|||||||
Замечание. Интеграл |
cos2ydy взят методом |
подстановки |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2y, |
|
тогда dt 2dy |
или dy |
dt. При изменении |
|
|
y |
от 0 до 2 t |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меняется от 0 до 4 . Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2ydy |
costdt. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
И |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
dх f (x; y)dу.
|
|
|
|
|
0 |
|
2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2. Изменить порядок интегрирования в интеграле |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 у |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
f (x; y)dx. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3. Измен ть порядок интегрирования в интеграле |
|
|
||||||||||||||||
С |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dy f (x; y)dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4. Измен ть порядок интегрирования в интеграле |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx f (x; y)dy. |
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5. Выч сл ть (x y)dxdy, где σ ограничена линиями y=x2+1; |
||||||||||||||||||
y=9 – x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6. |
Вычислить |
(x2 y2)dxdy |
по параллелограмму, |
ограничен- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ному прямыми у=х; y=0; y=2; у=х – 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
бА |
|
|
|||||||||||||
|
7. |
Вычислить |
(x2 y)dxdy, |
где σ ограничена линиями y=x2; |
|||||||||||||||
y2=х. |
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
8. |
|
Вычислить |
xcos(x |
|
|
|||||||||||||
|
|
y) dxdy, |
где |
σ |
|
ограничена |
линиями |
||||||||||||
y=0; y=x; х = π. |
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
||||||||
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. 2 |
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
2. |
0 |
|
1 x |
2 |
|
1 |
1 х |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dу f (x; y)dх dу f (x; y)dх . |
|
dx |
|
f (x; y)dy dx f (x; y)dy . |
|||||||||||||||
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
||||||||||||
0 |
|
у |
|
2 |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15