Механические колебания и волны Механические колебания Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω₀.

Если свободные колебания происходят на частоте ω₀, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω₀. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

(**)

где – собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина A определяется выражением:

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту ω₀ свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону

x(t) = xmcos (ωt + θ).

Амплитуда вынужденных колебаний x_m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω₀ и ω и от амплитуды y_m внешней силы.

На очень низких частотах, когда ω << ω₀, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x(t) = y(t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω₀ стремится к нулю.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω₀, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды x_m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой

При резонансе амплитуда x_m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду y_m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Рисунок 2.5.2. Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 – колебательная система без трения; при резонансе амплитуда xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4. На низких частотах (ω << ω0) xm ≈ ym. На высоких частотах (ω >> ω0) xm → 0.

Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями. В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис.  изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Функциональная схема автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. ). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Часовой механизм с маятником.

Переменный ток.

В широком смысле - электрический ток, изменяющийся во времени; в узком - периодический ток, среднее за период, значение которого равно нулю. Наиболее часто применяется синусоидальный переменный ток.

I(t) = I cos (2 t+ ) = I cos( t+ )

с циклической частотой = 55 Гц. Очевидно, круговая частота у такого тока равна 314 Гц. Переменный гармонический ток создается ЭДС, изменяется со временем той же частотой. Если размеры электрической цепи переменного тока не слишком велики (менее 10 метра), можно считать, что с точностью за 1% ток во всех точках цепи пропорционален действием в данный момент ЭДС.

Если рассмотреть рисунок, подключенное к ЭДС, изменяющейся со временем по закону:

U (t) = U cos t

I (t

R U cos t = I(t) R , откуда ˜U (t).

Одно из важных преимуществ переменного тока перед постоянным заключается в том, что напряжение переменного тока относительно легко подается изменению с помощью электромагнитной индукции, а способы преобразования постоянного тока сложны.

Прибор для преобразования напряжения и силы переменного тока при неизменной частоте называют трансформатором. Он был изобретен П.Н. Яблочковым в 1876 г. трансформатор состоит из замкнутого сердечника, сделанного из мягкой стали или феррита, на котором имеются две изолированные друг от друга катушки с разным числом витков. Одна из катушек, концы которой подключаются к источнику переменного напряжения, называется первичной катушкой (обмоткой), другая – вторичной катушкой (обмоткой). При подключении выводов первичной катушки к источнику переменного напряжения в катушке возникает переменный ток. Если напряжение изменяется со временем по гармоническому закону с частотой , то по гармоническому закону с той же частотой происходят изменения силы тока i в катушке и магнитного потока Ф.

Действие трансформатора основывается на законе электромагнитной индукции. Опуская подробные описание процессов, происходящих при работе трансформатора, можно так кратко сформулировать принцип его действия: когда по первичной обмотке проходит переменный ток, а в сердечнике появляется переменное магнитное поле. Оно наводит ЭДС индукции во вторичной обмотке. Можно показать, что для трансформатора выполняется такое соотношение

= = K ,

где U и U , N и N , соответственно напряжения и число витков в первичной и вторичной обмотке , а K – коэффициент трансформации.

Если K>1 – трансформатор понижающий: напряжение на второй катушке U будет меньше напряжения на первой катушке U . При K<1

Трансформатор повышающий, и выше будет напряжение U .

При нагрузке трансформатора близкой к номинальной преобразование переменного тока одного напряжения в переменный ток другого напряжения происходит практически без потери мощности:

I U ≈ I U .

Поэтому

.