4. Багатовимірний розподіл. Числові характеристики системи довільного числа випадкових величин

Якщо система включає більше двох величин, то її розглядають як випадкові точки або випадкові вектори в просторі відповідної кількості п-вимірів.

Повною характеристикою системи п-випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п) є закон розподілу цієї системи. Його задають функцією розподілу або щільністю розподілу.

Функцію п-аргументів х₁, х₂, ..., х_п, що дорівнює ймовірності спільного виконання п-нерівностей Х_і < x_i ( ) називають функцією розподілу системи (Х₁, Х₂, ..., Х_п), тобто

F (х₁, х₂, …, х_п) = P (Х₁ < x₁, Х₂ < x₂, …, Х_n < x_n). (29)

Граничне відношення ймовірності появи системи (Х₁, Х₂, ...,Х_п) в невеликих межах навколо точки (х₁, х₂, …, х_п) до розміру інтервалу межі при необмеженому його зменшенні називають щільністю розподілу j(х₁, х₂, ..., х_п) системи п випадкових величин

j(х₁, х₂, ..., х_п) = . (30)

Якщо закон розподілу системи п-випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п) невідомий, то її характеризують числовими характеристиками:

1. Математичним сподіванням М_x

М_x = , (31)

де – обчислюються за формулами..

2. Дисперсією D_x

D_x = . (32)

Дисперсії характеризують міру точності кожної з випадкових величин, тобто розсіювання випадкової точки в напрямку осей.

3. Кореляційною матрицею K_x

Вона є узагальненим поняттям дисперсії D_x для випадкового вектора Х. Визначається за формулою

K_x = М [(X – M_x) (X – M_x)^T]. (33)

Відомо, що математичне сподівання випадкової матриці є матриця, складена із математичних сподівань її елементів. У формулі (33) приймемо п = 3, отримаємо

K_x = = ,

де – дисперсії Х_і, а K_ij = – кореляційні моменти випадкових величин Х_і і Х_j.

При п-випадкових величинах системи (Х₁, Х₂, ..., Х_п) кореляційна матриця має вигляд

. (34)

Аналіз формули (34) показує, що діагональні елементи кореляційної матриці є дисперсіями випадкових величин Х_і, а недіагональні елементи K_ij є кореляційними моментами між випадковими величинами Х_і і Х_j. Крім того, кореляційна матриця K_x симетрична відносно головної діагоналі, тобто

.

Якщо випадкові величини системи (х1, х2, ..., Хп) незалежні між собою, то матриця Kx буде діагональною

= . (35)

Якщо всі дисперсії матриці (35) рівні між собою, = = то

K_x = ²E, (36)

де Е – одинична матриця.

Через кореляційні моменти K_ij можна обчислити коефіцієнти кореляції, що визначають міру зв’язку між парами Х_і і Х_j випадкових величин за формулою

. (37)

На заміну кореляційної матриці можна скласти нормовану кореляційну матрицю.

Нормованою кореляційною матрицею називають матрицю, елементами якої є коефіцієнти кореляції r_ij, тобто

. (38)

Якщо випадкові величини Х₁, Х₂, ..., Х_п мають нормальний розподіл і незалежні між собою, то система випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п) буде п-вимірним нормальним розподілом зі щільністю ймовірності

j(х₁,х₂, ..., х_п)= . (39)

Щільність нормального розподілу для системи двох залежних величин Х і Y буде

j(х,у) = .(40)

Як видно із формули (40), для двох залежних випадкових величин закон розподілу визначається п’ятьма параметрами: М_x, М_y, _х, _у і r_xy.

Формула щільності нормального розподілу для системи (Х₁, Х₂, ..., Х_п) залежних випадкових величин Х₁, Х₂, ..., Х_п має досить складний вигляд.

5. Функції випадкових величин. Числові характеристики. Кореляційна матриця системи функцій випадкових величин

В практиці геодезичних вимірювань виникають задачі оцінки точності результатів, що є функціями однієї чи декількох виміряних величин. Отримані функції теж будуть випадковими величинами. Як правило, відомо закон розподілу системи випадкових аргументів і відома функціональна залежність. Тобто, є система випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п) і закон їх розподілу. Розглянемо функцію Y від випадкових величин Х₁, Х₂, ..., Х_п

Y = f (Х₁, Х₂, ..., Х_п). (41)

Практично вирішують задачу визначення закону розподілу випадкової величини Y, виходячи з функції (39) і закону сумісного розподілу її аргументів Х₁, Х₂, ..., Х_п.

Покажемо вирішення цієї задачі для двох випадкових величин. Маємо функцію

Y = f (X₁, X₂ ).

Очевидно, що щільність розподілу системи випадкових величин (Х₁, Х₂) буде – (x₁, x₂).

Штучно введемо нову величину Y₁ = X₁ і розглянемо систему двох рівнянь

. (42)

Очевидно, цю систему можна однозначно визначити відносно х₁ та х₂, тоді

. (43)

Виходячи з того, що система (3.43) диференціюється в теорії ймовірностей, доводиться, що щільність розподілу випадкової величини

у = f(x₁, x₂) в нескінченних межах буде

j(у) = j[x₁j y,x₁)] . (44)

За аналогією находять щільність розподілу для функції трьох і більше випадкових величин. Наприклад, якщо Y = f(x₁, x₂, x₃), вводять нові перемінні

Y₁ = X₁,

Y₂ = X_2.

Якщо при цьому між системами (Х₁, Х₂, Х₃) і (Y, Y₁, Y₂) виявляється однозначне співвідношення, то щільність розподілу випадкової величини Y буде

j(у) = j[x₁,х₂, j(y,x₁,х₂)] , (45)

де j(y, x₁, x₂) – зворотня функція.

На основі формули (44) визначають щільність розподілу для випадкових величин: у = (x₁ + x₂ ); у = (x₁ - x₂ ); у = x₁  x₂ та Наприклад. Закон розподілу величини відхилення випадкової точки (Х,Y) від початку координат при умові, що система випадкових величин (Х,Y) має нормальний розподіл з параметрами М_х = М_y = 0 і _х = _у =  називають розподілом Релея.

Зазначимо, що щільність розподілу такої системи (Х, Y) має вигляд

j(х,у) = .

Відхилення точки (х,у) від початку координат буде визначатися випадковим вектором R, що є функцією випадкових величин Х та Y, тобто

.

Випадкова величини R є полярним радіусом, тоді

x = r cos ;

y = r sin .

Щільність розподілу j(r,) системи випадкових величин (R, ) визначають через щільність розподілу j(х, у) системи (Х, Y).

Внаслідок математичних перетворень щільність розподілу випадкової величини R визначається розподілом Релея за формулою

j(r) = . (46)

Графік розподілу Релея показано на рис. 4

Рис. 4

При дослідженнях не завжди виникає необхідність у визначенні закону розподілу функції випадкових величин. Тоді обчислюють числові характеристики функції випадкових величин: математичне сподівання та дисперсію.

Математичне сподівання функції випадкових величин

Якщо маємо функцію у = f (X₁, X₂, …, X_n), то для системи випадкових величин (X₁, X₂,…, X_n) визначають математичне сподівання М_х (3.31) кожної випадкової величини X₁, X₂, …, X_n за формулами (2.15 – 2.17).

Для неперервних випадкових величин маємо:

М [f (X₁, X₂,…, X_n)]= (x₁, x₂,… x_n)j(x₁, x₂,…, x_n) dx₁dx₂ … dx_n, (47)

де j(x₁, x₂, …, x_n) – щільність розподілу системи (Х₁, Х₂, …, Х_n).

В теорії ймовірностей розглядають випадки, коли для визначення математичного сподівання не потрібно знання функції розподілу, а досить знати тільки числові характеристики:

1. Математичне сподівання суми як залежних, так і незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

. (48)

2. Математичне сподівання добутку двох випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань плюс кореляційний момент

М . (49)

Якщо випадкові величини некорельовані, то

М . (50)

Для незалежних випадкових величин математичне сподівання функції у = Х₁  Х₂  …  Х_п дорівнює

. (51)

В загальному вигляді математичне сподівання майже лінійної функції

y = f(Х₁, Х₂, …, Х_п) при незалежних випадкових величинах (Х₁, Х₂, …, Х_п) обчислюють за формулою

М_y = f ( . (52)

Дисперсія функції випадкових величин

Випадкова величина Y є функцією системи випадкових величин

(Х₁ , Х₂ , …, Х_п)

Y = f( Х₁, Х₂ , …, Х_п). (53)

В загальному вигляді дисперсія функції Y дорівнює

D_у = М [(Y – M_y )²]. (54)

Якщо функція (53) нелінійна, то для діапазону практично можливих значень аргументів вона може бути з достатньою точністю лінеарізована за формулою

Y = f(Х₁, Х₂, …, Х_п)  f( + , (55)

де – значення часткової похідної, визначеної за значеннями Х_і, що співпадають з їх математичними сподіваннями.

Підставимо значення у і М_y із формул (55) і (52) в формулу (54), тоді

 = М . (56)

Після піднесення в квадрат і розкриття формули (56) маємо

.

Відомо, що ;

,

тоді

, (57)

так як K_ij = r_ij ,

то . (58)

Якщо випадкові величини системи (Х₁, Х₂, ..., Х_п) некорельовані (r_ij = 0), то дисперсія функції у = f (Х₁, Х₂, ..., Х_п) дорівнює

. (59)

Дисперсія системи функцій випадкових величин

Якщо маємо систему декількох нелінійних функцій системи випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п )

Y = f(Х) = , (60)

то спочатку їх приводять до лінійного виду.

Розклавши в ряд систему функцій (3.60) отримаємо систему лінійних функцій:

, (61)

де за умови Х = Х₀.

Математичним сподіванням системи випадкових функцій М_y системи випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п ) за аналогією з формулою (52) буде

, (62)

де визначається за формулами.

Дисперсією системи випадкових функцій D_y системи випадкових величин (Х₁, Х₂, ..., Х_п) є кореляційна матриця функцій випадкових величин K_y. В матричному вигляді маємо

. (63)

В розкритому вигляді матриці елементів формули (63) будуть

. (64)

Причому, якщо в матриці K_y кореляційні моменти K_ij визначають залежність між випадковими величинами аргументів Х_і і Х_j, то в матриці K_y кореляційні моменти K_ij визначають залежність між випадковими функціями Y_i і Y_j. Величину коефіцієнта кореляції між випадковими функціями Y_i і Y_j обчислюють за формулою

. (65)