- •Поняття та закон розподілу системи випадкових величин
- •2. Система двох випадкових величин
- •Закон її сумісного розподілу визначають за формулою
- •Якщо вони взаємно залежні між собою, то
- •3. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції і рівняння регресії
- •Для системи неперервних випадкових величин
- •4. Багатовимірний розподіл. Числові характеристики системи довільного числа випадкових величин
- •Дисперсії характеризують міру точності кожної з випадкових величин, тобто розсіювання випадкової точки в напрямку осей.
- •Якщо випадкові величини системи (х1, х2, ..., Хп) незалежні між собою, то матриця Kx буде діагональною
- •6. Граничні теореми теорії ймовірностей
Закон її сумісного розподілу визначають за формулою
(х,у) = 1(х) ,
або (х,у) = 2(y) .
Випадкова величина Х буде незалежною від випадкової величини Y, якщо закон розподілу величини Х не залежить від прийнятого значення величини Y, тобто
= 1(х),
і навпаки, для випадкової величини Y маємо
= 2(у).
Якщо вони взаємно залежні між собою, то
1(х); 2(у).
Випадкові величини Х i Y незалежні, якщо щільність сумісного розподілу (х,у) можна визначити у вигляді добутку двох множників, кожен із яких утримує тільки величини х та у, тобто
(х,у) = .
Додамо, що при розкладанні, функції з точністю до постійної множників збігаються з щільностями розподілу 1(x) і 2(у).
Між випадковими величинами виникає функціональна або стохастична (ймовірна) залежність.
Функціональною залежністю між випадковими величинами Х і Y називають таку залежність, коли кожному значенню Х відповідає точне значення Y.
Наприклад, у = х2, S = ab і т.д.
Стохастичною (ймовірною) залежністю між випадковими величинами Х і Y називають таку залежність, при якій кожному значенню х можна вказати розподіл величини у, яке змінюється при зміні х.
Така залежність в практичній діяльності зустрічається досить часто. Наприклад, зріст та вага людини, висота і товщина дерева в лісі, величина деформації інженерних споруд, час їх експлуатації і т.д.
Тобто у випадку ймовірної залежності на кожне точне значення аргументу х можна вказати значення випадкової величини у з певною мірою ймовірності (Ру).
Система двох випадкових величин може підкорятися різним законам розподілу. Проте в практиці геодезичних вимірювань найбільше розповсюдження має нормальний закон розподілу.
Якщо випадкові величини Х і Y мають нормальний розподіл і незалежні між собою, то щільності розподілу кожної із них будуть:
1(х) = ;
(6)
2 (y ) = .
Згідно з формулою щільність розподілу системи (Х, Y), якщо випадкові величини Х та Y незалежні, отримаємо у вигляді
(х,у) = . (7)
Якщо центр системи (х,у) знаходиться на початку системи координат х0у, тобто Мх = Му = 0, то
(х,у) = . (8)
Поверхня щільності нормального розподілу системи (х,у) має опуклий вигляд (горб), показаний на рис. 2.
Ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник із сторонами паралельними осям координат, в межі з координатами х1,х2 і у1,y2 (рис. 1) визначається за формулою
Р(х1 < X < x2 , y1 < Y < y2 ) = (x,y) dx dy. (9)
При нормальному розподілі системи двох випадкових величин отримаємо
Р(х1<X<x2,y1<Y<y2)= . (10)
3. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції і рівняння регресії
Найбільш повними ймовірними характеристиками системи двох випадкових величин є закон розподілу. Однак в практичній діяльності не завжди є можливість визначити його. Тому при дослідженнях систему двох випадкових величин характеризують їх числовими характеристиками: початковими та центральними моментами.
Початковим моментом порядку s, q системи (Х,Y) називається математичне сподівання від добутка ХS на тобто
. (11)
Для системи дискретних випадкових величин
, (12)
де Рxiyi = Р(Х = хі; Y = yi ) ймовірність того, що система (х,у) прийме значення (хі,уі), а додавання розповсюджується по всіх можливих значеннях випадкових величин Х і Y.