- •Поняття та закон розподілу системи випадкових величин
- •2. Система двох випадкових величин
- •Закон її сумісного розподілу визначають за формулою
- •Якщо вони взаємно залежні між собою, то
- •3. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції і рівняння регресії
- •Для системи неперервних випадкових величин
- •4. Багатовимірний розподіл. Числові характеристики системи довільного числа випадкових величин
- •Дисперсії характеризують міру точності кожної з випадкових величин, тобто розсіювання випадкової точки в напрямку осей.
- •Якщо випадкові величини системи (х1, х2, ..., Хп) незалежні між собою, то матриця Kx буде діагональною
- •6. Граничні теореми теорії ймовірностей
Для системи неперервних випадкових величин
(х,у) dx dy, (13)
де (х,у) щільність розподілу системи двох випадкових величин Х та Y.
В практичній діяльності найчастіше використовують початкові моменти першого порядку при s = 1, q = 0 і s = 0, q = 1
; (14)
. (15)
Як видно із формул (14) і (15) початковими моментами першого порядку будуть математичні сподівання випадкових величин Х і Y. Вони визначають координати точки, яку називають центром розсіювання системи (Х, Y) на площині.
Центральним моментом sq порядку s,q системи (Х, Y) називається математичне сподівання добутку центрованих величин (Х – Мx) і (Y – My) відповідно в s-му і q-му степенях.
sq = М [(X – Mx)S (Y – My)q ]. (16)
Для системи дискретних і неперервних величин отримаємо:
sq = ; (17)
sq = (х,у) dx dy. (18)
Практичне значення мають центральні моменти другого порядку при s = 2 і q = 0 та s = 0 і q = 2:
20 = М [(X – Mx)2 (Y – My)0 ] = М [(X – Mx)2] = Dx; (19)
02 = М [(X – Mx)0 (Y – My)2 ] = М [(Y – My)2] = Dy. (20)
Як видно вони є дисперсіями випадкових величин Х та Y і характеризують розсіювання випадкової точки з координатами (х, у) в напрямку осей 0х і 0y.
При дослідженнях системи випадкових величин важливу роль має змішаний центральний момент першого порядку 11. Його називають кореляційним моментом Kху або моментом зв’язку і визначають за формулою
11 = Kху = М [(X – Mx) (Y – My)]. (21)
Для системи дискретних та неперервних величин його визначають за формулами
; (22)
Kху = (х,у) dx dy. (23)
Між випадковими величинами Х і Y може виникати зв’язок. Кореляційний момент Kху і характеризує силу або щільність зв’язку. Відомо, якщо між випадковими величинами існує ймовірний зв’язок (залежність), то зі зміною випадкової величини Х змінюється закон розподілу випадкової величини Y. В той же час закон розподілу задають кривою розподілу у = f(x). Характер кривих може бути різним, тому і відрізняють декілька типів імовірної залежності. Одним із найбільш розповсюджених типів є кореляційна залежність, за якої заміна аргументу х призводить до зміни математичного сподівання величини y (рис.3). В першому випадку (рис.3,а) ми маємо прямолінійну кореляцію, а на рис.3,б – криволінійну. При дослідженнях можуть виникнути й інші типи кореляційної залежності.
а б
Рис.3
Кореляційну залежність часто називають кореляцією. Кореляційний момент має розмірність, яка залежить від розмірності випадкових величин Х і Y. Тому для оцінки сили зв’язку між випадковими величинами системи (Х, Y) використовують не коефіцієнт зв’язку Kху, а безрозмірне відношення
, (24)
яке називають коефіцієнтом кореляції випадкових величин Х і Y. Коефіцієнт кореляції змінюється в межах від -1 до +1, тобто
.
Якщо r > 0, то маємо позитивну кореляцію, тобто із збільшенням абсциси x, збільшується величина ординати y (рис.3,а) і навпаки при r < 0 .
Якщо випадкові величини Х і Y незалежні, то кореляційний момент і коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, тобто Kху = 0 і rxy = 0.
Дві корельовані випадкові величини завжди є взаємозалежними, але дві залежні величини не завжди є корельованими.
Випадкові величини Х і Y називають корельованими, якщо | rxy| > 0 і при rxy = 0 – некорельованими.
Коли коефіцієнт кореляції дорівнює +1 чи -1, то між величинами Х і Y існує прямолінійна залежність у вигляді рівняння прямої
у = ах + b.
Форма прямолінійного зв’язку між випадковими величинами Х і Y визначається у вигляді рівняння регресії Y на Х:
у = Мy + (х – Мx), (25)
і Х на Y
x = Мx + ( y – Мy). (26)
Коефіцієнти регресії і визначають за формулами
; , (27)
де значення r, x, y обчислюють за відомими формулами.