ПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОРВАНИЕ МАТЕРИАЛОВ.
Физические основы. Экспериментальные методы. Математическое моделирование.
Глава 3. Основные понятия механики деформируемого твердого тела и уравнения теории упругости
3.1. Вектор и тензор напряжений. Главные напряжения. Инварианты тензора напряжений. Девиатор напряжений.
3.1.1. Предварительные замечания.
Прежде всего, введем используемые в
дальнейшем обозначения и операции.
Векторы обозначаются строчными буквами
прямым полужирным шрифтом –
,
тензоры выделяются фигурными скобками
–
,
матрицы также могут быть обозначены
заглавными буквами прямым полужирным
шрифтом – A. Между
векторами и тензорами зададим следующие
операции:
– скалярное произведение векторов,
– векторное произведение,
– скалярное произведение тензоров
(двойная свертка),
– скалярное произведение вектора на
тензор,
– скалярное произведение вектора на
матрицу,
где
– базисные вектора декартовой системы
координат.
3.1.2. Вектор напряжений.
Для построения математической модели деформируемого твердого тела необходимо обобщить введенное ранее понятие напряжения, как отношения действующей силы к поперечному сечению тела на трехмерный случай, чтобы можно было характеризовать напряженное состояние в любой точке тела при любом виде напряженного состояния.
Пусть тело представляет собой некоторую
область пространства, заполненную
сплошной средой (рис. 3.1.1. а). На него
действует два вида сил: приложенные к
поверхности поверхностные силы
(силы контактного взаимодействия с
другими телами или средами) и приложенные
ко всем точкам объема объемные или
массовые силы
(силы
инерции, гравитация). Объемные силы
отнесены к массе объема, на который они
действуют, то есть на всякий элементарный
подобъем тела
действует сила
.
На участках поверхности, где не задано
действие поверхностных сил, могут также
быть заданы условия на перемещение
(например, запрет перемещения, то есть
закрепление участка поверхности).
Поскольку действие сил передается от
одной части среды к другой, всякий
подобъем внутри тела можно рассматривать
как тело, на которое действуют поверхностные
силы со стороны окружающего материала.
Обозначим такой подобъем
,
его поверхность –
и возьмем на поверхности некоторую
точку
.
Возьмем участок
поверхности
,
содержащий точку
,
настолько малый, что его можно считать
плоским, и имеющий единичную внешнюю
нормаль
.
Со стороны окружающего материала на
через площадку
будет действовать равнодействующая
поверхностных сил
,
зависящая от выбора площадки и нормали
(рис. 3.1.1. б).
Рис. 3.1.1. Действие сил извне и внутри сплошного тела.
Принцип напряжения Коши гласит, что
если
стянуть к точке
,
отношение
устремится к пределу
.
Этот результирующий вектор называется
вектором напряжений в данной точке.
Обозначим его
.
Он зависит от выбора нормали, то есть
от выбора ориентации той элементарной
площадки, содержащей точку
,
на которой мы хотим определить напряжение.
Иными словами, компоненты этого вектора
зависят от шести величин – трех координат
точки и трех компонент единичной нормали:
.
(3.1)
3.1.3. Тензор напряжений.
Поскольку каждый вектор можно выразить через сумму его проекций на координатные оси, то напряженное состояние в точке будет полностью задано девятью величинами: компонентами трех векторов напряжения, действующих на площадках, нормали которых направлены вдоль координатных осей. Определим эти девять величин следующим образом:
,
(3.2)
где
при
,
при
.
Они составляют тензор
,
называемый тензором напряжений:
;
.
(3.3)
Напряжения
,
,
называются нормальными, а остальные
– касательными или напряжениями
сдвига. Часто используется обозначение
при
.
Одним из основных свойств этого тензора,
вытекающим из требования равновесия
моментов действующих сил относительно
начала координат, является симметричность:
.
3.1.4. Уравнения равновесия.
Если внешняя сила не уравновешена внутренними силами, она влияет на перемещение тела как твердого целого, но не на его деформирование. Поскольку нам важно знать, как меняется форма при воздействии внешних сил, мы отбрасываем все, что касается перемещения тела как целого и рассматриваем только те внешние силы, которые уравновешены внутренними силами реакции материала на внешнее воздействие. Уравнения равновесия всех поверхностных и массовых сил в теле выглядят следующим образом:
(3.4)
(переход от интеграла по площади к интегралу по объему производится по теореме Гаусса–Остроградского).
Далее перейдем к индексной форме записи, соблюдая два правила: по повторяющемуся индексу производится суммирование, индекс после запятой означает частную производную по соответствующей пространственной координате. Уравнения равновесия приобретут вид
,
(3.5)
поскольку объем произволен.
3.1.5. Главные напряжения и направления.
Если взять площадку с нормалью
,
нормальная и касательная компоненты
вектора напряжений
на этой площадке будут определяться
следующим образом:
,
.
(3.6)
Для каждой точки можно найти три таких взаимно перпендикулярных площадки, для которых касательные компоненты вектора напряжения равны нулю, то есть напряженное состояние в точке можно выразить через тройку взаимно перпендикулярных нормальных напряжений. Направления нормалей таких площадок называются главными направлениями тензора напряжений, а соответствующие нормальные напряжения – главными напряжениями. Тензор напряжений, приведенный к главным осям, имеет диагональный вид
,
(3.7)
причем номера его компонент выбираются
так, что
.
При этом на площадках, которые делят
углы между главными площадками пополам
и проходят через главные оси, действуют
главные касательные напряжения
,
,
.
(3.8)
Наибольшее напряжение
,
действующее в данной точке, называется
максимальным касательным напряжением.
Очевидно
.
(3.9)
Главные напряжения являются корнями характеристического уравнения
;
,
(3.10)
где
– единичный тензор, а величины
(3.11)
или в главных напряжениях
(3.12)
не зависят от выбора системы координат и потому называются инвариантами тензора напряжений.
3.1.6. Девиатор напряжения.
Материал по-разному реагирует на сдвиг и на всестороннее сжатие или растяжение. Как было показано в первой главе, пластическая деформация осуществляется в основном за счет сдвигов, происходящих в материале. В связи с этим используется разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор:
,
(3.13)
где
– гидростатическое или среднее
давление.
Шаровой тензор отвечает за равномерное всестороннее растяжение, при котором меняется объем, а форма тела остается неизменной. Девиатор характеризует состояние сдвига, при котором меняется форма тела, но не меняется объем.
Для девиатора так же, как и для тензора
напряжений, определяются инварианты
путем замены
на
:
(3.14)
Введем также неотрицательную величину, называемую интенсивностью касательных напряжений и играющую в дальнейшем заметную роль
.
(3.15)