Опорні конспекти з курсу: „Основні фати проективної геометрії. Методи зображень”

Метою вивчення цього курсу є:

1. показати роль центрального і паралельного проектування у виникненні проективної геометрії;

2. обґрунтувати можливість аксіоматичного введення поняття проективного простору;

3. розглянути основні факти проективної геометрії

4. показати роль групової точки зору на предмет проективної геометрії;

5. розглянути практичні задачі шкільного курсу геометрії, які можуть бути розв’язані засобами проективної геометрії;

6. показати можливість побудови афінної та евклідової геометрій з проективної точки зору;

7. вивчити властивості паралельного проектування та навчитись використовувати їх до розв’язування позиційних і метричних задач.

Вивчення курсу ведеться з використанням мультипроектора по створених опорних конспектах .

Тема1: Поняття проективного простору.

Мета: сформувати поняття проективного простору; з’ясувати суть його властивостей.

План

1. З історії виникнення проективної геометрії.

2. Поняття проективного простору.

3. Властивості проективного простору.

Ключові слова: п+1 вимірний векторний простір, n-вимірний проективний простір, вектор породжує точку, проективна площина, проективна пряма, трьохвимірний проективний простір.

(З історії виникнення проективної геометрії ---- див 2, ст.5-8, 341 )

Поняття проективного простору

V_n+1 – n+1 вимірний векторний простір над полем R дійсних чисел.

V^/ = V_n+1\{ }  Р≠Ø

Означення: Множина Р називається n-вимірним проективним простором, якщо визначено відображення f: V^/→Р, яке задовольняє властивостям:

1) f – сюр’єктивне

2 )

Е лементи множини Р називають точками. Запис читається: вектор породжує точку X.( будемо використовувати позначення )

Тоді друга властивість в означенні читається так: колінеарні вектори породжують одну і ту ж точку проективного простору

За означенням

V₄^/ породжує Р₃ (3-х вимірний проективний простір)

V₃^/ породжує Р₂ (проективну площину)

V₂^/ породжує Р₁ (проективну пряму)

V₁^/ породжує Р₀ (точку)

Зауваження: Так як V₄^/ (V₃^/, V₂^/) містять нескінченну множину не колінеарних векторів, то проективний простір, проективна площина, проективна пряма містять нескінченну множину точок.

Властивості проективного простору

1. У 3-х вимірному проективному просторі існують 4 точки, які не лежать в одній площині. На проективній площині існують 3 точки, які не лежать на одній прямій.

● Р₃ V₄^/, ( ) — базис V₄^/

A, B, C, D

не можуть лежати в

о дній площині Р₂ V₃^/

Якщо припустити, що A,B,C,D є Р₂

т о є V₃^/

– л.з., що суперечить

Аналогічно: існують A,B,C d

(самостійно)●

2. Через будь-які дві точки проходить одна і тільки одна пряма

● Дано: Точки A і B, А≠В

В ідомо: А , В ,

Розглянемо: ( , ) – базис V₂^/ (1)

За означенням: V₂^/ AB – пряму

Доведемо, що AB= d — єдина пряма

Припустимо  d^/  A, B  d^/

Н ехай d^/ W₂^/

З того, що A, B  d^/  , є W₂^/  ( , ) базис W₂^/ (2)

( 1), (2) V₂^/= W₂^/

d = d^/

AB єдина пряма, яка проходить через точки A і B ●

3. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить одна і тільки одна площина (Самостійно)

4. Якщо дві точки А і В лежать у площині Р₂ то і пряма АВ лежить у цій площині (тобто кожна точка прямої АВ лежить у площині Р₂ )

● Нехай А і В є Р₂ V₃^/

А ( , ) базис V₂^/

А≠В, V₂ V₃^/

В є V₃^/

V₂^/ V₃^/

AB P₂

AB P₂

 M є AB  = λ +μ ₁  V₂^/  V₃^/

M  P₂ ●

5. Будь-які дві прямі на проективній площині завжди перетинаються.

● P₂ – проективна площина

d₁, d₂ P₂

P₂ V^/₃

V₂^/, W₂^/  V₃^/ Правило

Vm, Wk  Vn Vm+Wk=Vn₊ Vp

2+2=3+1 Vp-простір перерізу Vm, Wk

V₁^/ - простір перерізу просторів V₂^/ і W₂^/ у V₃^/

Векторний простір V₁^/ - це множина

колінеарних між собою ненульових векторів V₁^/ M₀

Отже, d₁  d₁ = M₀ ●

6.Будь-які дві площини у трьохвимірному просторі завжди перетинаються

●

V₃^/, W₃^/  V₄^/

3+3=4+2

V_π^/= V₂ простір перерізу

Отже, P₂  P₂^/ = Р₁ ●

7. Будь-яка площина і пряма, яка їй не належить, у трьохвимірному просторі завжди перетинаються (Самостійно)