Тема3: Моделі проективного простору.

Мета: З’ясувати поняття моделі проективного простору, розглянути різні моделі проективної прямої, площини (розширена площина, в’язка прямих); дослідити зв’язок на зв'язок між афінними та проективними координатами точки на проективній прямій, площині.

План

1.Поняття моделі проективного простору.

2. Модель проективної прямої (розширена пряма, пучок прямих).

3.Модель проективної площини (розширена площина, в’язка прямих).

4. Зв'язок між афінними і проективними координатами точки на проективній прямій, площині.

Ключові слова: модель, проективний простір, інтерпретація, афінний простір, пучок прямих, невласна точка, розширена пряма, невласна пряма, розширена площина, відображення сюр’єктивне, бієктивне, ін’єктивне.

Модель проективного простору.

Я кщо знайдена конкретна множина Р і конкретне відображення f: V΄ P, яке задовольняє аксіомам проективного простору, то кажуть, що побудована інтерпретація даної системи аксіом. Сама множина Р називається моделлю проектного простору.

МОДЕЛІ ПРОЕКТИВНОЇ ПРЯМОЇ, ПЛОЩИНИ

І ) А₃ – афінний простір, V₃ – трьохвимірний векторний простір

(О) V₃΄

(О) в’язка прямих з центром в т. О

О

а

Задамо f : V₃΄ (О)

за законом

d

V₃΄,

d

_{f – задовольняє властивостям}

_{1, 2 з означення проективного}

_{простору}

(О) – модель проективної площини.

прямі в’язки–точки пр.пл..

По аналогії: пучок прямих на площині є моделлю проективної прямої

Інші моделі проективної прямої, площини

Дано: А₂-афінна площина, пучок прямих- А₂, d

O

d_o

V₂, V΄₂,

а b А₂ Р₁

d

A B

Розглянемо

f : d

1. f - ін’єктивне

2. f - не сюр’єктивне

Нехай = А -- невласна точка

Позначимо - ---- розширена пряма

Тоді f : сюр’єктивне

_{A , oтже,} f : _{- бієкція}

-модель проективної

прямої

Дано А , А , П А , О П

П₀

Розглянемо O d

f

a

: П

1. f-- ін’єктивне _a

2. f--несюр’єктивне П

A

Нехай = ----невласна пряма

_{Позначимо П -- розширена площина}

_{Отже: f :}

_{ін’єктивне сюр’єктивне}

_{бієктивне}

- модель проективної площини

Побудова точки за її координатами на проективній прямій

M(x₁, x₂), R=(А₁ ,А₂ ,Е )

О

А₁ Е М А₂

М^!

ЗВ’ЯЗОК МІЖ АФІННИМИ ТА ПРОЕКТИВНИМИ КООРДИНАТАМИ ТОЧКИ

М

О

М^!

А₁ Е М = Х

(x₁, x₂) - проективні координати точки М відносно репера R=(А_1, А₂, Е )

_{x - афінна координата точки М}

_{в ідносно репера R=(А1,.А1Е)}

_{формули зв’язку афінних і проективних координат точки}