§ 7.8. Формула Тейлора

Рассмотрим полученную ранее формулу для приращения дифференцируемой функции . Для точек и она примет вид

, в этом случае и формулу можно привести к виду

.

Таким образом, функцию приближенно с погрешностью можно представить в виде линейной относительно функции , вносимая погрешность является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с . Возникает вопрос, нельзя ли приближенно представить эту функцию в виде многочлена более высокой степени, если да, то какова погрешность этого представления.

Пусть раз дифференцируемая функция, то есть имеющая производных, предположим, что

,

где остаточный член, показывающий отличие от многочлена ой степени в правой части формулы. Определяем коэффициенты этого многочлена. Полагаем . Тогда при выполнении условия . Дифференцируем эту функцию поочередно раз, тогда

,

,

,

,

……………………………….

.

Подсчитаем вычисленные производные при . При выполнении условий из формулы для первой производной имеем , из формулы для второй производной следует , формула для третьей и четвертой производных приводит к

, ,… .

Подставляем полученные коэффициенты в формулу, в результате

.

Проанализируем, что следует из условий, налагаемых на остаточный член. Из условия следует, что , то есть бесконечно малая при . Поскольку , где ,

,

следовательно, при бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем . Совершая аналогичную процедуру с остальными условиями на производные остаточного члена, выясняем, что в вышеприведенной формуле остаточный член при является бесконечно малой, более высокого порядка малости, чем . Тогда

.

Такое представление остаточного члена показывает, что остаточный член есть бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем .

Полученная формула используется для приближенного вычисления значения функции с помощью полинома. Имеется несколько вариантов остаточных членов, более приспособленных для установления количества сохраняемых в формуле членов, обеспечивающих наперед заданную точность приближенного вычисления (аппроксимации) функции. Сведения о них имеются в литературе, указанной в списке.

Широко используется частный случай формулы Тейлора – формула Маклорена

,

представляющая разложение функции в окрестности нулевой точки.

Пример 1. Рассмотрим функцию . Нетрудно заметить, что любая производная этой функции равна самой функции, а . В соответствии с формулой Маклорена

.

Пример 2. Рассмотрим функцию . Очевидно, и т.д.

Тогда

и так далее.

Первые члены формулаы Маклорена принимают вид

123