- •Глава 7 Производные, дифференциалы функций
- •§ 7.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
- •§ 7.2. Правила дифференцирования
- •§ 7.3. Таблица производных
- •§ 7.4. Производные неявно заданных функций
- •§ 7.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •§ 7.6. Первый дифференциал функции, инвариантность его формы
- •§ 7.7. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 7.8. Формула Тейлора
§ 7.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Если , то производная имеет вид .
Доказательство.
.
Пример.
, , , .
Примеры для самостоятельного решения
Определить
7.21. , 7.22. 7.23. .
§ 7.6. Первый дифференциал функции, инвариантность его формы
Как уже говорилось выше,
.
Теорема. Форма записи дифференциала (первого дифференциала) функции не отличается для случаев независимой и зависимой переменной, то есть инвариантна.
Доказательство. Пусть - сложная функция, причем независимая переменная, зависящая от переменная. В соответствии с только что введенной формулой для дифференциала имеем , но является сложной функцией и при вычислении производной это следует учесть. Поскольку , , а подчеркнутые члены представляют собой дифференциал функции , естественно, можно записать . Итак, дифференциал функции можно представить двумя формулами и , причем независимая, а зависимая переменные. Нетрудно заметить, что форма записи дифференциала одинакова, то есть инвариантна.
Это свойство первого дифференциала функции лежит в основе интегрирования.
Пример.
, .
§ 7.7. Производные и дифференциалы высших порядков
В математике широко используются производные функции высших порядков. Это оправдывается хотя бы тем, что физический смысл второй производной представляет собой ускорение тела. В самом деле, если вторую производную функции ввести как производную от производной, то есть
,
и учесть, что физический смысл первой производной есть скорость, то вторая производная, очевидно, показывает скорость изменения этой скорости, то есть ускорение.
Аналогично можно ввести понятия третьей, четвертой и так далее производных: , …..
За редким исключением производные высших порядков вычисляются последовательно, то есть для получения пятой производной необходимо вначале найти первую, затем вторую, третью и четвертую производные, и после этого пятую производную.
Пример 1.
, , , …
На примере 1 было показано, как находить старшие производные для явно заданной функции.
Пример 2. Вычислим вторую производную неявной функции
Определим вначале первую производную, дифференцируя обе части равенства по , или
.
Дифференцируем полученное уравнение еще раз
,
тогда
.
После приведения подобных членов
определяем
.
Из полученного выражения можно исключить первую производную, которую определим из ранее полученного уравнения , после приведения подобных членов тогда
.
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить
7.24. , 7.25. .
Определим вторую производную для параметрически заданной функции, для чего выведем необходимую для этого формулу. Ранее была получена формула для первой производной функции , которая имела вид . Дифференцируем обе части равенства по , тогда
.
Итак,
.
Пример. Дана функция . Определить .
В соответствии с полученной формулой находим
, ,
, ,
Очевидно,
.
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить
7.26. , 7.27. , 7.28. .
Дифференциалы высших порядков
По аналогии с производными введем понятие дифференциала второго порядка, обозначив его :
.
Этот дифференциал не обладает инвариантностью формы записи. Покажем это. Очевидно,
.
Если функция простая, то есть, независимая переменная, то аргумент и его приращение никак не связаны между собой, другими словами может быть любым числом из области существования функции тоже, следовательно, при дифференцировании по ведет себя как постоянная тогда
.
Когда функция сложная , имеется связь между ее промежуточным аргументом и его приращением поскольку и , и зависят от . В выражении для производной, а следовательно, и дифференциала появляется второе слагаемое
.
Еще больше дополнительных членов появляется в третьем дифференциале сложной функции и так далее.