17. Статистика Ферми-Дирака и Бозе-Энштейна

Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926 году, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией есть

где

 — среднее число частиц в состоянии ,

 — энергия состояния ,

 — кратность вырождения состояния (число состояний с энергией ),

 — химический потенциал (который равен энергии Ферми при абсолютном нуле температуры),

 — постоянная Больцмана,

 — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур . В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными ), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

В статистической механике статистика Бо́зе — Эйнште́йна определяет распределение тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином (таковыми являются, например, фотоны и атомы гелия-4) по энергетическим уровням в состоянии термодинамического равновесия. В 1924 году она была предложена Шатьендранатом Бозе для описания фотонов. В 1924-1925 Альберт Эйнштейн обобщил её на системы атомов с целым спином. Статистикам Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна подчиняются системы тождественных частиц, в которых нельзя пренебречь квантовыми эффектами. Квантовые эффекты проявляются при значениях концентрации частиц (N/V) ≥ n_q, где n_q — это т. н. квантовая концентрация, при которой среднее расстояние между частицами равно средней волне де Бройля для идеального газа при заданной температуре. При концентрации n_q волновые функции частиц «касаются» друг друга, но практически не перекрываются. Статистике Ферми — Дирака подчиняются т. н. фермионы (частицы, для которых справедлив принцип запрета Паули), а статистике Бозе — Эйнштейна — бозоны. Поскольку квантовая концентрация растёт с увеличением температуры, большинство физических систем при высоких температурах подчиняется классической статистике Максвелла — Больцмана. Исключениями являются системы с очень высокой плотностью, например белые карлики. В пределе высокой температуры или низкой концентрации частиц обе статистики переходят в классическую статистику Максвелла — Больцмана.

Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули — произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии, обладающем наименьшей энергией, формируя так называемый Бозе-конденсат.

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии i, равняется

где , n_i  — количество частиц в состоянии i, g_i  — вырождение уровня i, ε_i  — энергия состояния i, μ — химпотенциал системы, k — постоянная Больцмана, T — абсолютное значение температуры.

В пределе статистика Бозе-Эйнштейна переходит в статистику Максвелла — Больцмана, а в пределе  — в распределение Рэлея:

.