1.2.3. Классическая задача на условный экстремум

Классическая задача на условный экстремум. Это задача (1.1) (или (1.4)) с допустимым множеством X, заданным системой конечного числа уравнений:

.

Обычно эта задача записывается в виде

f(x) min,

g_i(x)= 0, i = 1,…,m, (1.9)

т.е. явно указывается не само допустимое множество, а система, его определяющая.

При исследовании задачи (1.9) важную роль играет ее функция Лагранжа, т. е. функция

,

где х Rⁿ, y₀ R, y=(y₁,…,y_m)  R^m. Частные производные этой функции по координатам вектора х имеют вид

. (1.10)

Составленный из них вектор обозначается через , т. е.

. (1.11)

Теорему о необходимых условиях локальной оптимально­сти в задаче (1.9), известная как правило множителей Лагранжа.

Теорема 1.5. Пусть функции f, g₁, ..., g_m непрерывно диффе­ренцируемы в некоторой окрестности точки х* Rⁿ. Если х* - ло­кальное решение задачи (1.9), то существует число и вектор , не равные нулю одновременно и такие, что

. (1.12)

Если при этом градиенты линейно независимы (условие регулярности), то .

Условие (1.12) с учетом (1.11) означает, что градиенты линейно зависимы. В частности, если т =1, то и коллинеарны.

Фигурирующие в теореме 1.5 числа называются множителями Лагранжа. Любая точка х*, удовлетворяющая при некоторых и , , условию (1.12), а также условию допустимости

g_i(x*)= 0, i = l, ..., m, (1.13)

называется стационарной точкой задачи (1.9).

Как и в случае безусловной задачи оптимизации, стационарные точки задачи (1.9) не обязаны быть ее решениями. Здесь также существуют необходимые и достаточные условия оптимальности с привлечением вторых производных. Обозначим через

матрицу вторых производных функции Лагранжа по координатам вектора х.

Теорема 1.6. Пусть функции f, g₁, ..., g_m дважды дифферен­цируемы в точке х* Rⁿ и непрерывно дифференцируемы в ее неко­торой окрестности, причем градиенты линейно независимы. Если х* - локальное решение задачи (1.9), то

при любых , у*, удовлетворяющих (1.12), и всех h  Rⁿ таких, что

, i = 1, …, m. (1.14)

Теорема 1.7. Пусть функции f, g₁, ..., g_m дважды дифферен­цируемы в точке х* Rⁿ, удовлетворяющей (1.13). Предположим, что при некоторых и выполняется условие (1.12) и, кроме того,

при всех ненулевых h  Rⁿ, удовлетворяющих (1.14). Тогда х* - стро­гое локальное решение задачи (1.9).

В простейших случаях теоремы 1.5—1.7 позволяют решить за­дачу в явном виде.

Пример 1.3. Пусть требуется найти локальные решения задачи

,

где а > 0 и b > 0 - заданные числа. Ясно, что указанное в тео­реме 1.5 условие регулярности здесь выполнено. Выпишем (регу­лярную) функцию Лагранжа:

.

Поскольку , то система для опре­деления стационарных точек имеет вид:

, .

Без труда проверяется, что эта система имеет три решения:

1) x₁ = 0, x₂ = 1, y = b/3;

2) x₁ = 1, x₂ = 0, y = a/3;

3) , , .

Далее, имеем

.

Для указанных решений эта матрица принимает соответственно вид

, , .

Условие (1.14) выглядит здесь следующим образом:

.

Для первых двух решений это означает, что h₂ = 0 и h₁ = 0 соот­ветственно. Отсюда ясно, что матрицы A¹ и А² удовлетворяют усло­вию, указанному в теореме 1.7 (хотя, заметим, они не являются положительно определенными). Следовательно, точки (0, 1) и (1, 0) - строгие локальные решения исследуемой задачи. Для матрицы A³ заведомо не выполняется условие, указанное в теореме 1.6. Поэтому точка не может быть решением данной задачи. Ясно, однако, что эта точка служит строгим локальным решением задачи максимизации той же функции при тех же ограничениях

Иногда задачу (1.9) удается решить, используя лишь теорему 1.5.