Лекция 17

Тема: Системы оптимального управления

План лекции:

1. Основные понятия.

2. Управляемость динамических систем.

3. Наблюдаемость.

4. Принцип максимума Л.С.Понтрягина.

1. Системы оптимального управления

Системой оптимального управления называется система, качество функционирования которой удовлетворяет какому-либо критерию оптимальности. Наиболее часто используются

следующие критерии :

1) критерий максимального быстродействия;

2) среднеквадратичный критерий.

Система называется оптимальной по быстродействию, если

время переходного процесса минимально возможное.

Система оптимальна по критерию (2), если минимизируется :

а) энергия управления;

б) отклонение траектории движения системы от заданной.

Основными понятиями теории оптимального управления

являются такие, как :

- переменные состояния;

- пространство состояний;

- критерий оптимальности;

- ограничения;

- управляемость;

- наблюдаемость и т.д.

Для решения задач оптимального управления обычно используются модели пространства состояний.

2. Управляемость динамических систем

Система называется полностью управляемой, если она

может быть переведена из любого исходного состояния

в момент времени в другое состояние в момент времени

за конечное время при кусочно - непрерывном управляющем воздействии.

Система называется неполностью или частично

управляемой, если часть переменных состояния не управляемы.

Существуют методы анализа управляемости динамических систем.

Наиболее часто используется метод, основанный на

анализе управляемости с использованием канонической модели пространства состояний.

Если задан вектор состояния , который может быть задан неоднозначно, то от него можно перейти к вектору состояния , используя матрицу линейного преобразования .

Переход осуществляется следующим образом : .

Пусть имеется исходная модель пространства состояний :

Переход : 1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

,

где ,

Модель пространства состояний называется канонической,

если матрица состоит из собственных векторов системы :

,

.

Анализ управляемости состоит в следующем :

1) Переход от исходной модели пространства состояний

к канонической форме. Для этого необходимо вычислить собственных векторов системы :

.

2) Анализ матриц и канонической модели.

Существует несколько алгоритмов вычисления собственных векторов системы. Рассмотрим 2 метода :

1)прямой, который можно использовать для любой модели пространства состояний;

2) метод для коагулированной матрицы состояний .

Прямой метод

Пусть имеется автономная система (управляющее

воздействие равно нулю) :

(1)

.

Решением данного уравнения является следующая система уравнений :

где переменные состояния.

(2)

собственные вектора системы.

матрица собственных векторов системы.

собственные числа матрицы , то есть корни

следующего уравнения :

, где единичная матрица,

Продифференцируем уравнение (2) по времени :

.

Подставим правую часть уравнения (2) в уравнение (1) :

.

Приравняем правые части полученных уравнений :

(3)

(4)

При вычислении собственных векторов один из элементов векторов обычно задается равным 1, например, первый элемент.

Пример. Пусть .

Найти собственные вектора системы .

1) Найдем собственные числа :

2)

Алгоритм Вандермонда

Алгоритм Вандермонда применяется для моделей пространства состояний, заданных в коагулированной форме.

После нахождения модель пространства состояний

имеет вид : ,

где диагональная матрица, .

Такая форма модели пространства состояний называется канонической. С ее помощью можно проверить управляема ли данная система или нет. Система полностью управляема, если в матрице нет ни одной нулевой строки.

Пример. Имеется система вида:

,

Проверим управляемость этой системы и запишем уравнение системы. Признаком того, что система является неуправляемой по ой переменной состояния является то, что в дифференциальном уравнении для ой переменной

состояния нет входного сигнала .

При диагональной канонической форме модели пространства состояний дифференциальные уравнения для каждой переменной состояния не содержат других переменных состояния.

, ,

, ,