3. Наблюдаемость

Система называется наблюдаемой, если все ее

переменные состояния могут быть определены по выходному сигналу непосредственно или косвенно. Система наблюдаема,

если каждая переменная состояния влияет на выход системы.

Наблюдаемость системы необходима при реализации

алгоритмов оптимального управления, т.к. при этом необходимо иметь вектор состояния, который вычисляется по выходу объекта.

Пусть имеется модель пространства состояний :

Если преобразовать эту модель в каноническую форму с помощью матрицы , то получим :

, .

Система наблюдаема, если все столбцы матрицы ненулевые.

В теории оптимального управления используются следующие методы:

1. Вариационное исчисление.

2. Принцип максимума л.С.Понтрягина.

3. Метод динамического программирования Р.Беллмана.

4. Принцип максимума л.С.Понтрягина

Пусть имеется динамическая система, описываемая

системой дифференциальных уравнений :

,

переменные состояния системы,

входные переменные системы.

Задан критерий оптимальности уравнения :

(1)

Функция задана и зависит от постановки задачи оптимального управления. Введем переменную :

,

тогда очевидно, что , то есть (1). характеризует качество управления. Если управление оптимальное, то принимает минимальное значение. Таким образом, получим систему из дифференциальных уравнений :

Эту систему можно записать следующим образом :

, где .

В основе принципа максимума лежит функция Гамильтона

- это скалярное произведение и :

Функции определяются следующими дифференциальными уравнениями :

(2)

Пример. Имеется система первого порядка :

, ;

, ,

Оптимальное управление должно находиться из условия максимизации функции .

1) Обычно производная функции по управлению равна линейной комбинации одной или нескольких функций .

2) При максимизации необходимо учитывать ограничения, наложенные на управляющий сигнал .

3) Постоянные интегрирования определяются

на основе граничных условий вектора состояния (то есть начальных и конечных условий).

Синтез оптимального по быстродействию управления

Используем ту же постановку задачи, то есть :

, .

Критерий оптимальности:

- момент начала перевода объекта.

Необходимо перейти из состояния в состояние за минимальное время. Обычно при реализации оптимального по быстродействию управления на управляющий сигнал накладывается ограничение вида :

.

Задача решается с помощью принципа максимума

Понтрягина, т.е.

.

Функции определяются на основе системы дифференциальных уравнений (2). Поскольку функция

Гамильтона является скалярным произведением, одним из аргументов которого является функция , то :

,

Таким образом , то есть

оптимальное по быстродействию управление является кусоч-

но-постоянной функцией, принимающей лишь значения и

, моменты переключения которой совпадают с моментами смены знака функции .

Для определения таких моментов необходимо получить выражение для функции и определить моменты смены ее знака.

А.А.Фельдбаум доказал теорему об интервалах,

согласно которой оптимальное по быстродействию управление содержит интервалов постоянства уровня управления, то есть функция оптимального управления имеет переключение.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вентцель Е.С., Овгаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988. - 480 с.

2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1976. - 279 с.

3. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. - М.: Наука, 1977. - 208 с.

4. Фатуев В.А. Идентификация объектов управления. Уч. пособие.- Тула: ТулПИ, 1977.- 74 с.

5. Планирование эксперимента в задачах нелинейного оценивания и распознавания образов / Г.К. Круг и др. - М.: Наука, 1981. -

169 с.

6. Сейдж Э.П., Мелса Д.Л. Идентификация систем управления. - М.: Наука, 1974. - 248 с.

7. Фатуев В.А. Построение оптимальных моделей динамики по экспериментальным данным. Уч. пособие. Тула: ТулГТУ, 1993. - 102 с.

8. Гроп Д. Методы идентификации систем. - М.: Мир, 1979. - 204 с.

9. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. - М.: Мир. 1987. - 480 с.

10. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Наука, 1975. - 685 с.

11. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. - М.: Наука, 1971. - 312 с.

12. Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Планирование эксперимента в условиях неоднородностей. - М.: Наука, 1973. - 217 с.

13. Вентцель Е.С., Овгаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1983. - 388 с.

14. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1969. - 512 с.

Рассмотрено на заседании СОГЛАСОВАНО

кафедры Ответственный по

стандартизации на

Протокол № _____ от _____ кафедре

_____ Э.Г. Годынский

Зав. кафедрой_____В.А. Фатуев ____________ 19___г.