Тема IX–пределы последовательностей и функций одной переменной.

Лекция

План лекции

1.Понятие функции.

2.Числовая последовательность, ее предел.

3.Предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

4.Основные свойства пределов функций.

5.Первый и второй замечательные пределы.

6.Понятие непрерывности функции одной переменной.

1. Пусть , функция - это соответствие, которое каждому значению ставит одно и только одно значение . Числовая функция - это функция, заданная на основе соответствия между числовыми множествами X,Y : y=f(x), х – независимая переменная, аргумент; - символ (знак) закона соответствия; y=f(x) – значение функции f на заданном значении аргумента «х. Способ задания функции с помощью формулы называется аналитическим. Множество , для элементов которого существуют соответствующие значения , называется областью определения функции y=f(x). Например, для функции областью определения (часто обозначается Х) является промежуток [-1;1]. Множество значений функции y=f(x) –это множество всех тех чисел , каждое из которых по закону «f» соответствует некоторому числу При невозможности аналитического задания функции ее можно задать графически: график функции y=f(x) – это множество точек координатной плоскости вида . При графическом способе задания в таблице для каждого значения аргумента «х» указывается соответствующее значение функции y=f(x) (таблицами задаются тригонометрические функции, логарифмические). Функция строго возрастающая (возрастающая), если для любых таких, что , выполняется . Функция строго убывающая (убывающая), если для любых таких, что , выполняется ( ). Строго возрастающие, возрастающие, строго убывающие и убывающие функции - это монотонные функции. Ограниченная функция – это функция f(x), , для которой существует число М , что для любого всегда (1). В противном случае функция неограниченная. Геометрически условие (1) означает: график ограниченной функции размещается на координатной плоскости в полосе, ограниченной прямыми y=M и y= -M или (2), например y=sinx,( ), функция y=5x – неограниченная функция, её значения расположены в промежутке . Четная функция –это функция y=f(x), такая , что для любого выполняется f(-x)=f(x)(3) ( - функции четные). Нечетная функция –это функция y=f(x), такая, что для любого выполняется f(-x)=-f(х)(4) ( - нечетные функции). График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Из определения функции: закон «f» любому элементу ставит в соответствие единственный элемент .Зададим условие: различным элементам ставятся в соответствие различные элементы из множества В. Тогда можно построить функцию, которая любому элементу y В ставит в соответствие единственный элемент х А, такой, что f(x)=y. Это - функция, обратная данной функции «f»: ; для функции множество определения Х и множество значений Y меняются местами. Например, для y=sinx, заданной на отрезке (область определения Х), с множеством значений , существует обратная функция y=arcsinx с областью определения и множеством значений . Если независимая переменная «х» в функциональной зависимости y=f(x)( ) зависит, в свою очередь, от новой переменной «t» ( ), то функция является функцией от «t», это - сложная функция.

2.Функция с областью определения (множеством натуральных чисел) - это числовая последовательность : (5) или , где - член последовательности, «n» - номер члена последовательности . Число - первый член последовательности, - второй член, …. - n–ый или общий член последовательности. Последовательность задается функцией, порождающей эту последовательность: , формула позволяет вычислить любой член последовательности. Например, (а) - последовательность нечетных чисел (арифметическая прогрессия), формула для общего члена: (2n-1); б) - (геометрическая прогрессия), общий член . Монотонность последовательностей истолковывается с точки зрания понятия функции (см. выше).

Последовательность (с) представляется в виде , при возрастании «n» член приближается к числу 3 (начиная с тысячного номера член отличается от числа 3 меньше, чем на одну тысячную): число 3 является пределом последовательности (с): Предел последовательности - это число «а» такое, что если для любого заданного числа найдется такое натуральное N, зависящее от « » ( ), что для любого номера n>N выполняется неравенство : (6). Для произвольного числа неравенство равносильно неравенству . Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая предела – расходящейся. Если выполняется равенство (6), то последовательность сходится к числу «а». Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Например для имеем , последовательность ограничена. Всякая ограниченная монотонная последовательность имеет только один предел. Последовательность при имеет предел «е»: (7). Число «е» иррационально и с точностью до равно 2,718281828, «е» приняли за основание системы натуральных логарифмов, с помощью которых многие формулы для вычислений записываются значительно проще. Для отыскания приближенных значений натуральных логарифмов по таблицам десятичных логарифмов используется формула перехода: . Бесконечно малая последовательность имеет пределом число нуль: (6). Свойства :[1]. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел. [2]. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.[3]. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.[4]. Для того, чтобы число «а» было пределом последовательности необходимо и достаточно, чтобы число было представлено в виде суммы (7), где - бесконечно малая последовательность.[5]. Для сходящихся : последовательностей и : (8), (9), если

, то (10).[6]. (11).

3. Предел функции y=f(x) в точке х=а – это такое число А, что для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к «а», последовательность соответствующих значений функции сходится к числу А. Иначе говоря, если , то ; или если то : (12). Функция может либо иметь, либо не иметь предела. Например, если для некоторой последовательности значений аргумента , сходящейся к точке «а», последовательность соответствующих значений функции предела не имеет, то функция f(x) не имеет предела в точке х=а. Аналогично, функция f(x) не имеет предела в точке х=а, если для двух различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к «а», последовательности соответствующих значений функции имеют разные пределы (при нахождении предела функции в точке не рассматривают значения функции в самой этой точке). Кроме конечного предела функции f(x) при существует понятие бесконечного предела. Например, функция , определенная для всех , принимает сколь угодно большие значения при «х», неограниченно близко приближающемся к нулю. В этом случае говорят, что функция в точке х=0 имеет бесконечный предел: . Бесконечно большая функция при -это функция y=f(x) такая, что (13). Бесконечно малая функция при - это такая функция y=f(x), что (14).

4. Свойства: [1]. Функция не может иметь двух различных пределов в данной точке.[2]. Если то .[3].Если ,то .[4]. Для функций f(x),g(x), имеющих пределы: ) (15); (16).

Если ,то (17). [5]. (18). [6]. (19). [7]. Если и в некоторой окрестности точки «а», (кроме, может быть самой точки «а»), выполняются неравенства , то ( [7] называют свойством предела промежуточной функции). Например, вычислим пределы: (а) ; (b) (предел знаменателя равен нулю, вычислить предел частного нельзя) = ; [8].Для того, чтобы число «А» было пределом функции f(x) при необходимо и достаточно, чтобы функция была представлена в виде суммы (10), где ( бесконечно малая функция).

5. В вычислениях пределов функций используются замечательные пределы.

(а) (20) - предел существует и равен единице. Неравенство (а) справедливо для ; разделим все члены неравенства (а) на |sinx|: (b); неравенство (b) равносильно неравенству (c);функции y=cosx и - функции четные, поэтому (d) при ; перейдя к пределу, имеем: ; из неравенства и свойства [8] имеем: (20) - первый замечательный предел. Например,

(б). (21) – предел (21) существует и равен числу «е».

Теорему можно доказать на основе свойств пределов последовательностей. (21) - второй замечательный предел. Например,

(а) ;

6.Определение непрерывной функции можно сформулировать, во-первых, на основе понятий приращения функции и аргумента. Для функции y=f(x) определенной на интервале (a;b) на оси ОХ точке можно дать некоторое приращение , тогда получим новую точку ; разность - это приращение аргумента, разность , разность - приращение функции, соответствующее приращению аргумента. (а) Непрерывная функция в точке - это функция y=f(x), , у которой бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции : (22). Функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка . Например, функция непрерывна в произвольной точке области определения функции R: если приращение , т.е. , то приращение функции ; вычисляем приращение функции:

: если , то и , то есть функция непрерывна, (22) является формализованной записью непрерывной функции. (б) Во вторых, функция y =f(x) непрерывна в точке , если предел функции в этой точке равен значению функции в самой точке : если существует и функция f(x) непрерывна в точке , то (для непрерывной функции f(x) предел функции в предельной точке равен значению этой функции в предельном значении аргумента ). Свойства: [1]. Если функции непрерывны в точке , то их сумма, разность, произведение и частное (при ненулевом значении знаменателя) также непрерывны. [2]. Сложная функция непрерывной функции также непрерывна. [3]. Обратная функция от непрерывной функции также непрерывна. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Если функция не является непрерывной, то говорят, что она терпит разрыв в точке: не непрерывна в точке х=0, имеем разрыв в этой точке.