(С) если то

Если подинтегральное выражение является функцией только от sinx;cosx, тогда Например, в интеграле положим и по приведенным формулам имеем: .

Если функции y=sinx и y=cosx входят в выражение подинтегральной функции только в четных степенях, то используется подстановка t=tgx:

а)

b)

c)

Тогда Например, в интеграле обозначим tgx=t, тогда и

Если в интеграле хотя бы одно из чисел m или n

нечетное, то используют подстановку sinx=t или cosx=t. Например, в интеграле обозначим cosx=t; тогда dt=-sinxdx, и

При вычислении интегралов вида используют тригонометрические формулы:d)

e)

f) Например,

=

Замечание. Не у всякой элементарной функции первообразная функция также является элементарной. В случае, если первообразная некоторой элементарной функции f(x) тоже является элементарной функцией, говорят, что интеграл вычисляется в элементарных функциях, или «берется». Если же интеграл не выражается в элементарных функциях, то говорят, что этот интеграл не «берется». К таким «неберущимся» интегралам относятся, например, интегралы вида и другие. У этих подинтегральных функций первообразные существуют, но они не выражаются в элементарных функциях.

6. Если функция , , тогда плоская фигура, ограниченная графиком функции y=f(x), осью ОХ и прямыми х=а, х=b – это криволинейная трапеция aABb, (см.рис.1). Для вычисления площади трапеции aABb разобьем основание трапеции [a,b] на «n» частичных промежутков точками .

Рис.1

Длины промежутков в общем случае различны, обозначим наибольшую из длин через «m»: . На каждом промежутке выберем произвольную точку Произведение является числом, равным площади прямоугольника, построенного на основании с высотой , а сумма площадей прямоугольников ( ) приближенно выражает площадь криволинейной трапеции aABb. Если разбивать отрезок [a;b] на «n» отрезков произвольной длины так, что наибольшая из длин отрезков стремится к нулю при , то построенная сумма точнее будет выражать площадь криволинейной трапеции. Тогда за площадь криволинейной трапеции можно принять предел, к которому стремится сумма площадей построенных прямоугольников: (1). Определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a;b] - это предел , если он существует, и не зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на промежутки и выбора точек : (2). Функция f(x) - подинтегральная функциея, интегрируемая на отрезке [a;b], f(x)dx - подинтегральное выражение, числа «a» и «b» - пределы интегрирования (а – нижний предел, b – верхний предел ). Сумма - это интегральная сумма. Необходимым условием интегрируемости функции на отрезке является ограниченность функции на отрезке. Если функция непрерывна на промежутке [a;b], то она интегрируема на нем.

7.Свойства: [1]. По определению полагают: (3).[2].Для любого действительного числа «р»: . [3]. (4).[4]. Если функция f(x) интегрируема на [a;b], то (5), где [5]. (6).[6]. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b] и , то выполняется: .[7]. Если на [a;b] выполняется неравенство (m и M –константы), то . (Справедливость [7] следует из [2] и [6]). [8]. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка что (7): (7) при означает: площадь криволинейной трапеции аАBb равна площади прямоугольника с основанием [a;b] и высотой, равной f(x).

8. Непрерывная на промежутке [a;b] функция f(x) интегрируема на этом промежутке, в том числе и на любом промежутке [a;x], где Функция , (8) - интеграл с переменным верхним пределом (в (8) переменная интегрирования обозначена через «t», так как буквой «х» обозначен верхний предел интеграла); этот верхний предел интегрирования является независимой переменной, аргументом функции . Теорема. Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a;b], то функция имеет производную на промежутке [a;b]: или (9) - производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подинтегральной функции для этого предела, например,

9.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – первообразная функция для f(x) на [a;b], то (10), (11) ; (10),(11) - это формулы Ньютона-Лейбница, они позволяют вычислять определенные интегралы, если известна хотя бы одна первообразная подинтегральной функции.

10. Для вычисления определенного интеграла применяются те же методы, что и для вычисления неопределенного интеграла:(а) по таблицам: например,

= или

(б). Замена переменной: особенностью вычисления определенного интеграла методом замены переменной является то, что при переходе к новой переменной в интеграле обязательно изменяются пределы интегрирования на новые значения, соответствующие законам изменения новой переменной. Например, в интеграле обозначим t=2x, dt=2dх, Пределы у новой переменной интегрирования будут иными: если х=0, то t=0; если то ; новый интеграл

(в). Формула интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла трансформируется в формулу: (12). Например, в интеграле обозначим: и

11.Определенный интеграл вычисляется на промежутке [a,b], в результате получаем число, такие интегралы называются «собственными». На практике встречаются задачи, в которых один или оба предела интегрирования оказываются бесконечными. Если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечный, то интеграл - «несобственный». Если функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a,+ ), то по определению полагают: (13) - несобственный интеграл. Если предел (13) существует, интеграл сходится, если предела не существует - интеграл - расходится, ему не приписывают значений. Геометрически для функции на полуинтервале несобственный интеграл (13) представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции f(x),снизу – осью ОХ, слева отрезком прямой х=а, справа – геометрическая фигура - неограничена. На несобственные интегралы вида распространяется ряд свойств определенных интегралов. Если интеграл (13) сходится и для его подинтегральной функции существует первообразная функция F(x),тогда из формулы Ньютона – Лейбница имеем: или (14). Обозначив , получим обобщенную формулу Ньютона – Лейбница: (15). Несобственный интеграл вводится также и на полуинтервале : (16) и . Несобственный интеграл от f(x), заданной на всей числовой оси, можно вычислить на основании свойства [4]: (17) . например, интеграл сходится или - интеграл расходится.