Вопросы для самопроверки

1.      По каким характеристикам САУ может быть осуществлена их классификация на статические и астатические?

2.      Укажите, как определить порядок астатизма системы по ; поФ_х(р); по значениям коэффициентов ошибки.

3.      Чему равна ошибка по скорости в астатической системе с астатизмом второго порядка?

4.      Назовите основные методы, обеспечивающие повышение точности САУ.

5.      Как влияет использование комбинированного управления на устойчивость САУ?

6.      С чем связано ограничение, обусловливающее невозможность достижения абсолютной инвариантности системы?

6. Анализ сау в пространстве состояния

6.1. Основные положения метода переменных состояния

Рассмотрим основные положения ме­тода переменных состояния и его применение для анализа САУ. С математической точки зрения это предполагает ис­пользование методов матричного исчисления и векторного анализа. Подход, основанный на поня­тии переменных состояния системы, особенно удобен для описания многосвязных или нестационарных линейных систем, а также  нелинейных систем, исследование которых с помощью методов, базирующихся на использовании передаточных функций и частотных характеристик САУ, часто бывает затруднительным. Использование математического аппарата теории матриц и матрич­ных уравнений  позволяет получить основные зависимости в компактном виде, удобном для исследования систем на ЦВМ.

Основное положение метода переменных состояния заключается в следующем. Для полного математического описания динамической системы  -го порядка необходимо ввести в рассмотрение независимых переменных состояния системы . Эти переменные должны быть выбраны так, чтобы,  зная начальное состояние системы в моментt = t₀,  можно было бы при известных на интервалеt₀ ≤ t ≤ t₁  входных воздействиях , определить состояниев момент времени .

При описании системы в пространстве состояния целесообраз­но разделить все сигналы,  характеризующие поведение системы, на три группы:

1)      входные сигналы или входные воздействия , приложенные к исследуемой системе со стороны других систем, ;

2)      выходные сигналы , характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия, ;

3)      промежуточные переменные , характеризующие внутреннее состояние системы, .

Для удобства описания каждую группу переменных можно представить в виде вектора (матрицы-столбца):

X_вх(t) = – вектор входных воздействий;

X_вых(t)= – вектор выходных переменных системы;

X(t) = – вектор переменных состояния системы.

Приведенная классификация сигналов в системе является в определенной степени условной, так, некоторые переменные состояния могут совпадать с выходнымисигналами , но в общем случае между ними существует следующая зависимость:

(6.1)

В пространстве состояния, осями координат которого являются переменные состояния, каждому моменту времени соответствует векторX(t). Величина и положение этого вектора с течением времени изменяются, в результате чего конец вектораX(t)

описывает кривую, называемую траекторией движения системы в пространстве состояний.

Динамика линейной стационарной САУ -го порядка может быть описана системой линейных дифференциальных уравнений:

(6.2)

Систему уравнений (6.2) можно записать в виде сле­дующего матричного (векторного)  дифференциального уравнения:

,                                                (6.3)

где   А  –  матрица системы (квадратная матрица размером );

B  –  матрица управления размером .

В матричной форме система уравнений (6.1) примет вид:

,                                                     (6.4)

где    С   –   матрица наблюдения размером .

Уравнения (6.3) и (6.4) называютуравнениями состояния системы.

Элементы матрицы системы  А определяются структур­ной схемой системы и значениями ее параметров. Матри­ца управления В характеризует влияние входных сигналов на пере менные состояния, а матрица наблюдения С определяет связь выходных сигналов системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т. е. они  не могут быть измере­ны с помощью каких-либо датчиков, в то время как вы­ходные сигналы всегда наблюдаемы.

На рис. 6.1 показана структурная схема системы, соответствующая векторным урав­нениям (6.3) и (6.4); двойные линии на рисунке характеризуют векторный характер сигналов.

Согласно определению понятия состояния системы, в любой момент времени t > t₀ состояние системы является функцией начального состоянияX(t₀) и вектора входаX_вх(t₀ , t), т.е.

X(t) = F[X(t₀), X_вх(t₀ , t)].                                                (6.5)

Вектор выхода в момент  tтакже однозначно связан с векторамиX(t₀) иX_вх(t₀ , t):

X_вых(t)=R[X(t₀), X_вх(t₀ , t)].                                         (6.6)

Приведенные векторные дифференциальные уравнения описывают линейные стационарные  САУ. В нестационар­ных системах элементы матрицы в уравнениях  (6.3) и (6.4) являются функциями времени, и векторные дифференциальные уравнения принимают вид:

;                                        (6.7)

.                                                   (6.8)