- •Предел функции. Свойства пределов
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства пределов функций
- •Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если они существуют.
- •Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если они существуют.
- •Второй замечательный предел и его следствия
- •Непрерывность функции
- •Свойства непрерывных функций
- •Точки разрыва функции
- •Вычисление пределов
- •Правила вычисления предела
Непрерывность функции
Определение 1. Функция непрерывна в точке , если предел этой функции при равен значению функции в предельной точке, то есть .
Применяя второе определение предела функции в точке, получим
Определение 2. Функция непрерывна в точке , если .
Определение 3. Функция непрерывна в точке , если , где приращение аргумента функции ( ), а – приращение функции, соответствующее приращению ее аргумента .
Доказательство следует из первого определения непрерывной функции
Здесь первый из пределов вычисляется с помощью определения 1, второй – как предел постоянной, поскольку не зависит от .
Определение 4. Функция непрерывна в точке , если
.
Определение 5. Функция непрерывна в некоторой области, если она непрерывна во всех точках этой области.
Все степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции непрерывны в областях существования.
Свойства непрерывных функций
Сумма непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Действительно, из определения 1 непрерывности следует, что если и , то
.
2). Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.
3). Частное непрерывных функций – функция непрерывная, если знаменатель в предельной точке не равен нулю.
Доказательства второго и третьего свойств также следует из свойств пределов.
4). Пусть функция непрерывна в точке , пусть функция непрерывна в точке . Тогда функция непрерывна в точке .
Очевидно, что
.
Так как согласно определению 3 непрерывности при и при , получим: при .
Таким образом, непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.
Пример. Функция непрерывна во всех точках числовой оси, так как функция непрерывна на , а функция непрерывна на множестве неотрицательных чисел.
Точки разрыва функции
Определение. Точкой разрыва функции называется внутренняя точка области задания функции, в которой нарушается непрерывность функции.
Если в точке разрыва функция, к тому же, не существует, ее часто называют особой точкой. Так функция существует на всей числовой оси, кроме точки . Эта точка – особая, и в ней функция терпит разрыв.
Разрыв может быть конечным, если и принимают конечные, но не равные значения. Разность между этими значениями называют скачком функции в точке разрыва.
Пример. Функция . Очевидно, ,
.
Разрыв бесконечный, если левый, правый или оба предела бесконечны.
Пример. . Имеем , .
Разрыв называется устранимым, если и эти пределы конечны, но функция в точке не задана.
Пример. Функция не может быть задана при (деление на ноль), однако и левый и правый ее пределы равны 1, что следует из первого замечательного предела.
Устранить этот недостаток можно введением другой функции . Эта функция совпадает с заданной во всех точках, кроме 0, но она существует и непрерывна на всей числовой оси, что следует из свойств непрерывной функции.